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1 aprile 2011

Teoria : variabile e funzione

La variabile, per poter designare un numero non ancora individuato, deve poter essere in sé qualsiasi numero. Essa è un esempio significativo di sintagma denotativo nel senso di Russell, così come “un uomo” fa riferimento ad un uomo determinato ma con una locuzione che di per sé non ci aiuta assolutamente ad effettuare questa determinazione.

 

Perché la variabile possa essere sostituita da un numero determinato la si deve inserire in una espressione che esemplifichi alcune proprietà e relazioni del numero designato in modo da consentircene l’individuazione. Questa espressione per Frege è la funzione. Ma, come si vedrà nel seguito, se si parte dall’analisi del linguaggio matematico corrente, per “funzione” non s’intende propriamente quello a cui Frege si riferisce.

 


31 marzo 2011

Illogica logica : formalizzazione della logica

Malatesta dice che

  • Gi Stoici usavano le variabili proposizionali senza simbolizzarle. La loro trattazione era priva di simboli (linguaggio naturale).
  • Aristotele usava e simbolizzava variabili terministiche, ma non simbolizzava le costanti (operatori). Dunque si tratta di formalizzazione parziale.
  • Oggi si usano e si simbolizzano variabili proposizionali, variabili predicative e di classi, variabili di costanti (connettivi, funtori, operatori).

Il passaggio a questa terza fase è stato

  1. Iniziato da Leibniz
  2. Proseguito da Boole e De Morgan
  3. Realizzato da Frege

 

 

L’Ideografia di Frege

 

L’Ideografia opera la reductio ad unum di vari livelli di logica sino ad allora separati :

 

  • la logica stoica (logica delle proposizioni),
  • la logica aristotelica (logica dei predicati e delle classi),
  • la logica leibniziana (formalizzazione e calcolo logico),
  • la semantica medievale

in un edificio unico tutto concatenato a partire da sei assiomi di logica enunciativa

 

 

Principia

 

All’Ideografia si aggiungono altre scoperte:

 

  • di Peirce (logica dei relativi)
  • di Jevons (logica della probabilità)
  • di Mc Coll (modalità)
  • di Schroder e Boole (perfezionamento del calcolo logico)
  • di Peano (migliore simbolismo)

Il tutto confluisce nella Summa summarum dei Principia Mathematica di Russell e Whitehead che unificano :

1.      l’Ideografia di Frege

2.      l’Algebra della logica di Boole

3.      Il simbolismo di Peano

4.      L’applicazione della logica alla matematica

 

I Principia sono comunque imperfetti. Essi sono privi :

  • Del funtore unico di Sheffer (scoperto nel 1913)
  • Dell’assioma unico di Nicod (scoperto nel 1920)
  • Di una sistematica distinzione tra linguaggio e metalinguaggio (Tarski)
  • Di una sistematica distinzione tra proposizioni del sistema e regole di deduzione (Lukasiewicz)

 

Definizioni della nuova logica

 

1.      Leibniz : calculus ratiocinator-logica matematica-logistica

 

2.      Plocquet : calcolo logico

3.      Castillon : algoritmo logico

4.      De Morgan: Logica formale

5.      Boole: Analisi matematica della logica

6.      Venn : logica simbolica

7.      Peirce : algebra logica

8.      Schroder : logica esatta

9.      Hilbert : logica teoretica

10.  Couturat : logistica (preferita da Lukasiewicz e Carnap)

 

Attualmente si distingue tra logica simbolica e logica matematica.

Quest’ultima è costituita dall’intersezione di logica e matematica.

Barwise parla di molti settori della logica simbolica di cui la logica matematica è soltanto uno.

 

 

A mio parere la migliore denominazione è logica simbolica (o formale) con all’interno un calcolo logico. La denominazione di logica teoretica o di logica esatta non ha senso. Quella legata al calcolo confonde il metodo di verifica per l’intera scienza, mentre logistica è solo un neologismo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


25 marzo 2011

Illogica logica : categorematico e sincategorematico

Categorematico e sincategorematico

 

Malatesta  dice che i predicati categorematici hanno una funzione descrittiva. 

Essi designano una proprietà (predicati nominali) o una operazione (predicati verbali). Essi possono essere mono-argomentali ed n-argomentali :

  1. Ubaldo è meccanico
  2. Praga è più bella di San Gimignano.
  3. Arturo dà un libro a Riccardo
  4. La Germania confina con x, y, z, r, s, t

Scrivendo i predicati prima degli argomenti (Lukasiewicz) si riconosce immediatamente il numero degli argomenti :

E’ MECCANICO (Ubaldo)

E’PIU’ BELLA DI (Praga, San Gimignano)

DA’… A …(Arturo, un libro, Riccardo)

CONFINA CON (x, z,, y, r, s, t …)

Malatesta dice poi che i predicati sincategorematici (o costanti logiche) sono espressioni determinanti altre espressioni che a loro volta non sono nomi (ad es. gli enunciati)

Anche tali predicati possono essere mono-argomentali ed n-argomentali.

NON è un connettivo mono-argomentale

Ad es. :

  1. Non piove
  2. E’ bel tempo e la gente canta
  3. Nevica o splende il sole
  4. Se è autunno, le foglie ingialliscono
  5. Antonio suona il piano se e solo se Francesca canta
  6. Grandina e tira vento e fa freddo
  7. E’ primavera o estate o autunno o inverno

Scrivendo i funtori prima degli argomenti abbiamo :

NON (piove)

ET (è bel tempo, la gente canta)

VEL (nevica, splende il sole)

SE ….ALLORA (è autunno, le fogli ingialliscono)

SE E SOLO SE … ALLORA (Antonio suona, Francesca canta)

ET … ET (grandina, tira vento, fa freddo)

VEL … VEL … VEL … (è primavera, è estate, è autunno, è inverno) 

Altri predicati sincategorematici sono

I quantificatori

L’operatore di astrazione

L’operatore descrittivo

 

 

I determinanti, se possono essere considerati come le funzioni di Frege e le relazioni di Russell, possono aiutarci a classificare la logica : la logica delle proposizioni è caratterizzata da determinanti sincategorematici, mentre quella dei predicati e delle relazioni da determinanti categorematici.

Inoltre il NON più che un connettivo monoargomentale (un ossimoro) va considerato un funtore. Connettivi dovrebbero essere solo i funtori pluriargomentali.

Il carattere di connettivo della negazione andrebbe conservato solo in una logica dialettica : essa connetterebbe la dimensione del linguaggio oggetto e la dimensione del meta-linguaggio

 


22 marzo 2011

Teoria : Dallo zero alla variabile

Inizialmente l’assenza di un numero ad un determinato livello implicava anche la possibilità di riempire quel livello con un numero qualsiasi, allo stesso modo in cui uno scatolo vuoto può essere utile per metterci quello che si vuole. L’uso dello 0, inteso come un numero, sia pure particolare, tra gli altri, rimuove questa disponibilità : lo 0 è refrattario come gli altri numeri ad essere un numero qualsiasi. Ma l’esigenza si ripropone ad un livello diverso, cioè quello algebrico.

 

Quando si tratta di individuare, per motivi didattici o scientifici, una quantità determinata ma tale determinazione non si è ancora verificata, si ha bisogno di un segno per designare un valore numerico indeterminato. I babilonesi parlano appunto di “quantità”, “lunghezza” e “area”. Dunque essi, per designare un valore numerico incognito, fanno riferimento all’ambito nel quale deve avvenire la determinazione numerica, ma in effetti si riferiscono alla classe a cui deve appartenere il valore numerico considerato. Ciò che è epistemicamente incognito viene designato con un termine che si riferisce alla generalità nella quale ciò che è incognito deve necessariamente appartenere : quale che sia la misura si tratta di una lunghezza, oppure di un’area oppure di un numero.  L’incognita (oggetto dell’episteme) ha come suo correlato semantico la variabile.

 


14 marzo 2011

Teoria : dall'assenza del segno al segno dell'assenza

A questo proposito è necessario fare una premessa relativa proprio a quel livello segnico di cui Frege a volte trascura l’importanza ai fini della descrizione ontologica del livello semantico. Ci dobbiamo cioè domandare perché nella scrittura matematica si inseriscano simboli come “x” oppure “0” e dobbiamo anche domandarci perché non si lasci in certi casi uno spazio vuoto, come ha cercato di fare probabilmente senza successo Frege con quella ultima espressione usata proprio per designare la funzione.

Nella storia della notazione numerica quello dello spazio vuoto (soprattutto nel sistema posizionale) si è rivelato essere un vero e proprio problema in quanto l’ampiezza di tale spazio poteva essere variabile e dunque portare all’errore il lettore del testo. Mentre una cifra, quale che sia la sua dimensione, aveva un senso abbastanza ben definibile, lo spazio poteva si segnalare l’assenza di un numero, ma poteva segnalarne anche l’assenza di due o di nessuno.

 

 

Questo problema di percezione e di lettura va filosoficamente valorizzato.  Esso ci porta a riflettere sulla natura filosofica del concetto di assenza e sui suoi presupposti. Mentre un oggetto rimanda ad un concetto solo ad un livello superiore di riflessione, l’assenza di un oggetto sembra rivelarsi già al livello del concetto (questa è una delle ragioni del carattere dialettico della negazione). E questo forse si può collegare al fatto che un enunciato negativo possa essere considerato a prima vista già molecolare o quanto meno caratterizzato da una funtore, mentre un enunciato privo di negazione ha bisogno della forzatura del segno di asserzione inventato dallo stesso Frege per alludere alla sua dimensione pragmatica o meta-linguistica.

L’assenza si rivela essere una realtà complessa, descrivibile come uno stato di cose che risulta implicitamente dalla sussistenza di altri stati di cose assolutamente irrilevanti dal punto di vista semantico per l’enunciato che denota l’assenza stessa. Ad es. quando noi diciamo “non c’è il sale” alludiamo ad un contesto definito (ad es. una cucina o una credenza) in cui c’è un contenitore vuoto, altri oggetti a cui non si allude proprio nell’enunciato in oggetto. L’assenza diventa la relazione tra un oggetto intenzionato dalla memoria o l’immaginazione ed un contesto percettivo in cui non sia situato un oggetto analogo o simile a quello intenzionato (Sartre ha dato una descrizione fenomenologica molto pregnante di questa situazione).

Tornando ai simboli della notazione numerica lo spazio vuoto della scrittura in quanto tale non riesce nell’intento di designare una assenza  perché lo sguardo scandisce la propria attenzione grazie ad oggetti o a segni e dunque presuppone una presenza che un semplice spazio vuoto non riesce a determinare. Inoltre l’assenza, essendo sempre concettuale e relativa ad un oggetto comunque determinato, è sempre assenza all’interno di un livello o di una cornice (nel caso del sistema posizionale è l’assenza di un numero ad un dato livello posizionale, ad un dato ordine numerico) ed uno spazio vuoto non riesce ad essere utile per designare i diversi livelli posizionali della numerazione. Questa fu la causa per cui alla fine, per designare l’assenza di qualcosa, fu necessario individuare un segno specifico : lo zero.

Alcune teorie sulla genesi di questa cifra rendono la vicenda molto più interessante e significativa. Probabilmente lo zero, nella sua rappresentazione simbolica (0), era inizialmente la rappresentazione di un contenente, di un livello vuoto. Per rappresentare l’assenza era necessario dunque rappresentare il contesto nel quale un determinato oggetto era assente. Paradossalmente questo insieme vuoto, questo contenente senza oggetto divenne il segno dell’assenza stessa dell’oggetto in questione. La rappresentazione dell’assenza di un numero intesa come livello posizionale vuoto divenne lo zero.

Cosa succede però quando viene inventato ed utilizzato un segno ? Succede, se non si vuole negare la funzione designativa del segno, che a questo segno viene correlato semanticamente un oggetto. Perciò l’assenza di un oggetto divenne, magari ad un livello diverso, un oggetto con delle sue specifiche proprietà. Molti filosofi empiristi, positivisti, analisti del linguaggio considerano questa operazione mistificatoria e tale da originare le illusioni della metafisica e di molta filosofia. Eppure nonostante molti tentativi di tipo riduzionistico, l’uso designativo di simboli come lo zero, sia pure con possibili conseguenze metafisiche, è risultato utile nella storia della matematica, anche se è una questione ancora aperta se la sua utilità sia idealmente una necessità.

 


7 marzo 2011

Frege : funzione ed argomento

A proposito della funzione, Frege dice che, se essa fosse realmente soltanto la denotazione di una espressione di calcolo, allora sarebbe proprio un numero e con essa non avremmo acquisito niente di nuovo per l’aritmetica. È però vero per Frege che chi usa la parola “funzione” è solito pensare ad espressioni in cui un numero, per mezzo della lettera x, è indicato solo in modo indeterminato. Ciò però per Frege non cambia niente in quanto questa espressione indica pur sempre un numero, per quanto in modo indeterminato.

 

Frege chiama x l’argomento della funzione ed in diverse espressioni si può riconoscere la stessa funzione, solo con diversi argomenti. Ne consegue per Frege che l’essenza proprio della funzione sta in ciò che è comune a quella espressione, vale a dire in ciò che è presente ad es. in (2 × x3 + x) eccettuato x e che dunque potremmo scrivere 2  × ( )3 + ( ).

 


28 febbraio 2011

Teoria : la x è solo un segno ?

In secondo luogo Frege dice che per “funzione di x” s’intende una espressione di calcolo contenente x, una formula che include la lettera x. Egli non sembra accorgersi che altro è un’espressione che contiene x ed altro ancora è una formula che includa la lettera “x”. Possiamo dire altrimenti che x e la lettera “x” siano la stessa cosa ?

 

 

Frege dice che mettere sullo stesso piano “2+x” e “2+2” sullo stesso piano non è giusto, perché non viene distinto il segno dal designato. Ma ciò vale se, come per i formalisti, x sia solo un segno. Ma allora perché Frege, pur criticando il formalismo, diventa formalista quando si tratta della x ?

Da un certo punto di vista non c’è una differenza profonda tra x e 2. Il fatto che a 2 diamo una maggiore determinazione che ad x è il frutto di una convenzione e di una mancanza di riflessione sulle condizioni di possibilità che sottostanno all’uso stesso dei segni. Un formalista potrebbe dire che 2 è un mero segno (come x). Un realista platonico potrebbe dire che x rimanda ad una realtà ontologica (allo stesso modo di 2).

Cosa diversa dovrebbe essere poi la forma rispetto al segno (Frege invece sembra assimilare le due cose) : “formale” è una proprietà dei segni e di alcuni linguaggi e riguarda un livello più astratto rispetto ai segni stessi. Ad es. una funzione, che ha un carattere formale, non è una mera espressione, ma il senso dell’espressione con il segno ‘x’

 

 

 


21 febbraio 2011

Teoria : i segni come tracce per la metafisica

Frege ha buon gioco nel dire che diverse espressioni matematiche hanno la stessa denotazione. È giusto dunque porre attenzione al fatto che diverse espressioni non implicano diversi oggetti denotati. Ma da ciò non deve derivare una completa sottovalutazione del livello segnico del linguaggio. Se è vero che diverse espressioni possono avere una stessa denotazione, ciò non vuol dire che la diversità delle espressioni sia assolutamente irrilevante a livello oggettivo. Una ipotesi può essere ad es. che la diversità delle espressioni faccia riferimento a diverse proprietà o relazioni che fanno riferimento allo stesso oggetto denotato. Così si può dire che 4 possa essere al contempo la somma di (2+2) ed al tempo stesso la differenza di (7-3).

Dunque probabilmente nella dimensione semantica si trova la spiegazione delle differenze esistenti tra le proprietà dei segni (ad es. quella di essere molteplici) e quelle degli oggetti denotati (ad es. quella di essere unici nonostante le diverse espressioni usate per designarli).

La semantica può essere anche la dimensione in cui si consuma e forse si risolve il mistero della forte compenetrazione tra segno e noema (intendendosi per “noema”un oggetto designato sussistente solo a livello ideale).

 

Inoltre, va problematizzata la tesi di Frege per cui i segni sono soltanto i veicoli materiali del significato. Infatti una buona storia della notazione matematica induce a dei seri dubbi in proposito : l’elaborazione della notazione indo-araba ha evidenziato altre proprietà dei numeri ed ha reso possibile altre scoperte matematiche. In realtà neanche i segni sono nostra esclusiva proprietà, né le implicazioni che il loro uso comporta costituiscono un insieme finito e chiuso di elementi, il cui dominio sia del tutto prevedibile. Propria del soggetto è solo l’ulteriorità, cioè l’atto che di volta in volta si appropria di oggetti e ne fa segni per altri oggetti.

 


14 febbraio 2011

Frege, il formalismo e il significato come uso

Nel trattare delle funzioni, Frege cerca di affrontare il problema tra segno e designato, argomentando contro l’istanza del formalismo, tendenza di filosofia della matematica che cerca di rendere i segni matematici indipendenti da una presunta realtà designata.

Frege cerca di promuovere una tesi realistica per la quale i numeri non si riducano alle cifre (i numerali). A suo parere nessuna definizione può avere capacità creatrici tali da concedere ad una cosa proprietà che essa non ha, a parte quella di esprimere e designare ciò di cui la definizione stessa ce la presenta come segno. Se ad un segno mancano del tutto tanto il senso che la denotazione, non si può propriamente parlare né di un segno né di una denotazione.

Saremmo portati a condividere l’istanza realistica di Frege, ma si deve tuttavia precisare che il formalismo da lui criticato può ricevere una giustificazione filosofica più meditata da filosofie che considerino il significato di un termine o di una espressione equivalente all’uso che se ne fa all’interno del discorso. Non diciamo che Wittgenstein avrebbe appoggiato il formalismo di Hilbert, ma diciamo che può esserci una correlazione positiva tra i due orientamenti.

 

Naturalmente anche la tesi del significato come uso può presentare dei problemi. In primo luogo tra gli usi possibili del linguaggio viene individuato da alcuni l’uso descrittivo ed allora il problema del senso e della denotazione esce dalla porta per rientrare dalla finestra, sia pure solo per quel che riguarda alcune espressioni linguistiche.

A questo punto si potrebbe asserire che alcune classi di presunti oggetti denotati potrebbero invece essere spiegate senza fare uso di un linguaggio descrittivo (si pensi proprio ai numeri ad es.). ma anche in questo caso andrebbe spiegato perché una comunità di parlanti usi un linguaggio descrittivo (parlando di numeri) quando invece tali referenti dovrebbero essere dissolti in un uso diverso del linguaggio. Nel caso sia possibile una correzione, bisognerebbe argomentare sul perchè tale correzione sia necessaria o quanto meno plausibile. Inoltre la possibilità di trasformare un linguaggio descrittivo in un linguaggio che abbia una diversa funzione dovrebbe essere comunque una situazione che va spiegata, in quanto se è possibile la trasformazione in un senso, dovrebbe essere possibile anche la trasformazione del senso opposto ed allora l’uso di un linguaggio referenziale potrebbe essere una libera opzione del parlante, togliendo così mordente alla critica che Wittgenstein fa all’uso descrittivo o denotativo dei segni.

I diversi usi del linguaggio non sarebbero irriducibili gli uni agli altri e ci sarebbe perciò anche la possibilità di declinare oggettualmente (e forse metafisicamente) anche enunciati non descrittivi. Così ad es. tra etica ed ontologia non ci sarebbe una separazione così netta come vuole parte della letteratura filosofica.

 


4 febbraio 2011

Frege ed Hegel

Le tesi di Frege hanno a che fare con i rapporti tra platonismo ed hegelismo : quali sono i rapporti tra le idee ? C'è un movimento ? C'è uno sviluppo ? Qual è il rapporto tra Idea e Concetto ?

Tra in-sè e per-sè ?

Ma c'è un rapporto anche con la tematica sviluppata da Putnam e Kripke su i designatori rigidi (si veda la questione di "oro" o di "H2O"). Riguardo a questa questione si può ipotizzare che c'è un nome a cui possono corrispondere diversi sensi, ma questi sensi sono ben delimitati e sono relazionati ed inviluppati gli uni negli altri grazie al fatto che cadono sotto lo stesso nome.
Le tesi di Frege sono una critica indiretta all'hegelismo : mentre per Hegel il logico non ha un rapporto meramente estrinseco con lo storico (e dunque con l'empirico, l'estetico e lo psichico) , per Frege bisogna distinguere nettamente i due ambiti. Frege è a buon titolo un platonista : il concetto contraddittorio è pur sempre un concetto definito. E come tale non può cambiare, nè deve farlo.
Per l'hegelismo invece il concetto contraddittorio, in quanto tale genera il cambiamento. E' difficile dire chi dei due indirizzi valorizzi più la contraddizione.

 

 

L'hegelismo ne fa qualcosa di fecondo ma proprio per il fatto che non può reggersi su se stessa. Frege fa l'esatto opposto. Il suo approccio per certi versi sembra più rispettoso per la contraddizione in sè considerata. Tuttavia l'esempio che egli fa dello zero come "diseguale da se stesso" è alla base di uno sviluppo che porta poi all'uno ed alla serie numerica, per cui la posizione hegeliana mantiene un suo fascino ed una sua plausibilità. Frege pensa alla distinzione tra i singoli fotogrammi di una pellicola, l'hegelismo allo scorrere della pellicola stessa, che mette in un continuum temporale i singoli fotogrammi. Un problema per Frege è come si concilia la sua posizione con il fatto che vi sono concetti non immediatamente contraddittori, concetti che possono avere una contraddizione tra le loro note caratteristiche e dunque non immediatamente evidenti
A mio parere, c'è un livello ontologico ideale dove le idee sono tutte distinte tra loro ed immutabili e dove anche la contraddizione ha una sua consistenza propria. C'è poi un livello storico-epistemico dove le idee si trasformano reciprocamente e dove le contraddizioni fanno da motore del divenire. Tale secondo livello è solo fenomenologico e conoscitivo, dal momento che anche le relazioni tra concetti sono date ab aeterno. Tuttavia la verità dell'approccio storico è che esso ci impedisce di considerare dato una volta e per tutte (in un istante interno alla dimensione temporale)il contenuto di un concetto. Per cui l'evoluzione della nostra conoscenza di un concetto non ha in linea di principio nessun termine, per cui lo stesso concetto è inattingibile in maniera completa al soggetto conoscente.
Perciò è problematica anche l'esatta delimitazione del concetto, processo che può appunto essere infinito, che ha a che fare con la questione delle antinomie e del carattere a volte occulto delle contraddizioni in un sistema.

Insomma, c'è armonia tra carattere oggettivo ed extramentale del concetto e la sua delimitazione ? O l'oggettività (la realtà) ha a che fare con la vaghezza ?

 

 


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