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14 marzo 2011

Teoria : dall'assenza del segno al segno dell'assenza

A questo proposito è necessario fare una premessa relativa proprio a quel livello segnico di cui Frege a volte trascura l’importanza ai fini della descrizione ontologica del livello semantico. Ci dobbiamo cioè domandare perché nella scrittura matematica si inseriscano simboli come “x” oppure “0” e dobbiamo anche domandarci perché non si lasci in certi casi uno spazio vuoto, come ha cercato di fare probabilmente senza successo Frege con quella ultima espressione usata proprio per designare la funzione.

Nella storia della notazione numerica quello dello spazio vuoto (soprattutto nel sistema posizionale) si è rivelato essere un vero e proprio problema in quanto l’ampiezza di tale spazio poteva essere variabile e dunque portare all’errore il lettore del testo. Mentre una cifra, quale che sia la sua dimensione, aveva un senso abbastanza ben definibile, lo spazio poteva si segnalare l’assenza di un numero, ma poteva segnalarne anche l’assenza di due o di nessuno.

 

 

Questo problema di percezione e di lettura va filosoficamente valorizzato.  Esso ci porta a riflettere sulla natura filosofica del concetto di assenza e sui suoi presupposti. Mentre un oggetto rimanda ad un concetto solo ad un livello superiore di riflessione, l’assenza di un oggetto sembra rivelarsi già al livello del concetto (questa è una delle ragioni del carattere dialettico della negazione). E questo forse si può collegare al fatto che un enunciato negativo possa essere considerato a prima vista già molecolare o quanto meno caratterizzato da una funtore, mentre un enunciato privo di negazione ha bisogno della forzatura del segno di asserzione inventato dallo stesso Frege per alludere alla sua dimensione pragmatica o meta-linguistica.

L’assenza si rivela essere una realtà complessa, descrivibile come uno stato di cose che risulta implicitamente dalla sussistenza di altri stati di cose assolutamente irrilevanti dal punto di vista semantico per l’enunciato che denota l’assenza stessa. Ad es. quando noi diciamo “non c’è il sale” alludiamo ad un contesto definito (ad es. una cucina o una credenza) in cui c’è un contenitore vuoto, altri oggetti a cui non si allude proprio nell’enunciato in oggetto. L’assenza diventa la relazione tra un oggetto intenzionato dalla memoria o l’immaginazione ed un contesto percettivo in cui non sia situato un oggetto analogo o simile a quello intenzionato (Sartre ha dato una descrizione fenomenologica molto pregnante di questa situazione).

Tornando ai simboli della notazione numerica lo spazio vuoto della scrittura in quanto tale non riesce nell’intento di designare una assenza  perché lo sguardo scandisce la propria attenzione grazie ad oggetti o a segni e dunque presuppone una presenza che un semplice spazio vuoto non riesce a determinare. Inoltre l’assenza, essendo sempre concettuale e relativa ad un oggetto comunque determinato, è sempre assenza all’interno di un livello o di una cornice (nel caso del sistema posizionale è l’assenza di un numero ad un dato livello posizionale, ad un dato ordine numerico) ed uno spazio vuoto non riesce ad essere utile per designare i diversi livelli posizionali della numerazione. Questa fu la causa per cui alla fine, per designare l’assenza di qualcosa, fu necessario individuare un segno specifico : lo zero.

Alcune teorie sulla genesi di questa cifra rendono la vicenda molto più interessante e significativa. Probabilmente lo zero, nella sua rappresentazione simbolica (0), era inizialmente la rappresentazione di un contenente, di un livello vuoto. Per rappresentare l’assenza era necessario dunque rappresentare il contesto nel quale un determinato oggetto era assente. Paradossalmente questo insieme vuoto, questo contenente senza oggetto divenne il segno dell’assenza stessa dell’oggetto in questione. La rappresentazione dell’assenza di un numero intesa come livello posizionale vuoto divenne lo zero.

Cosa succede però quando viene inventato ed utilizzato un segno ? Succede, se non si vuole negare la funzione designativa del segno, che a questo segno viene correlato semanticamente un oggetto. Perciò l’assenza di un oggetto divenne, magari ad un livello diverso, un oggetto con delle sue specifiche proprietà. Molti filosofi empiristi, positivisti, analisti del linguaggio considerano questa operazione mistificatoria e tale da originare le illusioni della metafisica e di molta filosofia. Eppure nonostante molti tentativi di tipo riduzionistico, l’uso designativo di simboli come lo zero, sia pure con possibili conseguenze metafisiche, è risultato utile nella storia della matematica, anche se è una questione ancora aperta se la sua utilità sia idealmente una necessità.

 


7 marzo 2011

Frege : funzione ed argomento

A proposito della funzione, Frege dice che, se essa fosse realmente soltanto la denotazione di una espressione di calcolo, allora sarebbe proprio un numero e con essa non avremmo acquisito niente di nuovo per l’aritmetica. È però vero per Frege che chi usa la parola “funzione” è solito pensare ad espressioni in cui un numero, per mezzo della lettera x, è indicato solo in modo indeterminato. Ciò però per Frege non cambia niente in quanto questa espressione indica pur sempre un numero, per quanto in modo indeterminato.

 

Frege chiama x l’argomento della funzione ed in diverse espressioni si può riconoscere la stessa funzione, solo con diversi argomenti. Ne consegue per Frege che l’essenza proprio della funzione sta in ciò che è comune a quella espressione, vale a dire in ciò che è presente ad es. in (2 × x3 + x) eccettuato x e che dunque potremmo scrivere 2  × ( )3 + ( ).

 


12 luglio 2010

Matematica e realtà in Schlick

Il rapporto della logica con la realtà

 

Schlick poi passa ad esaminare i giudizi che non solo valgono per la realtà, ma enunciano anche una conoscenza di realtà : da cosa sappiamo ad es. che le leggi della meccanica celeste valgono universalmente nello spazio e nel tempo ? Possono esserci giudizi sintetici validi ?

Schlick dice che con Kant si chiamano sintetici quei giudizi che di un oggetto asseriscono qualcosa che non è contenuto nel concetto dell’oggetto. In essi la relazione tra soggetto e predicato non è data da una definizione, ma è istituita da una conoscenza. Se dunque vogliamo decidere la questione circa la validità di tali giudizi, possiamo farlo solo sulla base di ciò che siamo arrivati a comprendere circa l’essenza dell’atto conoscitivo.

Schlick aggiunge che reali sono i  nostri vissuti e ciò che con essi si connette secondo regole determinate. Conoscere la realtà significa ritrovare un oggetto reale in un altro e si riduce ad un ri-conoscere, un identificare contenuti di coscienza intuitivi o non-intuitivi. Questo atto del confrontare, per via della fugacità di tutti i vissuti, è sempre caratterizzato da incertezza. E il solo modo per produrre concetti del tutto esatti consiste nello svincolarli dal mondo reale. Ciò avviene per mezzo della definizione implicita che definisce concetti solo attraverso concetti e non mediante riferimento al reale.

 

 

Kant e la validità della scienza

 

Schlick poi si chiede se ci sia la possibilità di gettare un ponte tra la realtà ed i concetti rigorosi della logica e della matematica, soprattutto tenendo conto che ogni giudizio empirico “A è B” è una proposizione valida solo nel momento dell’osservazione.

In ogni istante della nostra vita si devono presupporre come veri innumerevoli giudizi per poter agire ed esistere. Tali giudizi sono davvero al di sopra di ogni dubbio ? Schlick risponde che no, un giudizio sintetico non può mai essere apoditticamente certo e non si può mai tornare al razionalismo estremo, ma solo a quello di tipo kantiano.

Per Kant, se la conoscenza deve conformarsi alla realtà, è impossibile che sia assolutamente valida. Perciò le mie verità sono universalmente valide solo se è la realtà che si conforma in qualche modo alla mia conoscenza : questa è l’unica via possibile per salvare una conoscenza di realtà che voglia essere universalmente valida. Per Kant essa non è solo una possibilità, ma una via effettivamente esistente per cui le leggi a cui gli oggetti di esperienza obbediscono sono al tempo stesso le leggi secondo cui l’esperienza stessa ha luogo quale processo di conoscenza : poiché  qualcosa mi viene dato nell’esperienza, proprio per questo è sottoposto alle leggi dell’esperienza e l’esperienza non è mera percezione, ma è uso efficace della percezione.

Per Schlick, Kant respinge i tentativi di giustificazione empirica dei massimi principi della scienza, perché altrimenti non si spiegherebbe la validità universale di quei principi. Giustamente, per Schlick, Kant presuppone la scienza e cerca di spiegarla, mentre Hume metteva in dubbio la scienza.

 

 

La geometria scienza dello spazio ?

 

Schlick poi, prima di affrontare l’ipotesi della possibilità di conoscenze sintetiche apriori, riassume la sua idea della matematica, la cui esattezza presuppone che essa sia scienza di meri concetti (e dunque analitica) definendo tali concetti attraverso definizioni implicite, unico metodo per garantire il rigore delle proposizioni.

Schlick si chiede però, se attribuendo ai concetti un contenuto intuitivo, la geometria come scienza dello spazio rimarrebbe una scienza apriori. Infatti in tal caso “retta”, “piano” non sarebbero solo determinate attraverso definizioni implicite, ma si riferirebbero a configurazioni spaziali vere e proprie. In tal modo le configurazioni spaziali sarebbero tra loro in quelle relazioni che, attraverso le definizioni implicite, sono stabilite per i concetti di base geometrici. Quelle definizioni allora non sarebbero più tali, ma sarebbero proposizioni sintetiche e sarebbero assiomi che tratterebbero di grandezze intuitive (e non di concetti). Tuttavia, obietta Schlick, i singoli teoremi della geometria seguirebbero analiticamente dagli assiomi giacché, al contrario di quanto dice Kant, le dimostrazioni non hanno più bisogno dell’intuizione, ma possono essere condotte mediante deduzione puramente logica. E tuttavia anche i teoremi, essendo gli assiomi sintetici apriori, sarebbero (come gli assiomi) conoscenza sintetica apriori.

Schlick dice che per molti secoli si è pensato che la geometria euclidea fosse la geometria dello spazio, ma la geometria non euclidea ha smentito tale tesi, anche se i neokantiani dicono che sono pensabili geometrie altre da quella euclidea, ma solo quest’ultima sarebbe intuitivamente rappresentabile, per cui gli oggetti fisici dovrebbero necessariamente apparirci nello spazio euclideo.

Inoltre i kantiani sembrano aver buon gioco per il fatto che (come dice Poincarè) l’esperienza sensibile non può provare che una determinata geometria è la sola valida nello spazio empirico, in quanto i fatti di esperienza possono essere portati in accordo con qualsiasi geometria si voglia, solo che al tempo stesso si enuncino le leggi di natura in una formulazione appropriata. Schlick aggiunge che una seconda retta parallela alla data, che costituisca con la prima un angolo di un milionesimo di grado, non sarebbe percepibile come falsa parallela e dunque la natura della geometria fisicamente valida non è empiricamente decidibile.

I kantiani però (obietta Schlick) ritengono che, se le intuizioni empiriche sono inesatte, c’è comunque un’intuizione pura molto più sicura. Schlick fa osservare che molte interrelazioni ascrivibili all’intuizione pura si rivelano però false. E questo è fatale per l’intuizione pura, perché una forma necessaria dell’intuire non può essere fallace.

Schlick dice pure che chi fa affidamento sull’intuizione deve sicuramente giudicare che, ad una curva perfettamente continua, si può sempre tracciare una tangente. Ma questo è un errore, perché Weierstrass ha specificato l’equazione di una curva perfettamente continua che in nessun punto possiede una tangente, perché l’equazione non è differenziabile in nessun punto : dunque in questo caso l’intuizione ci pianta in asso.

 

Spazio geometrico e spazi intuitivi

 

Schlick poi dice che la validità delle proposizioni geometriche non può essere fondata su di una intuizione pura semplicemente perché lo spazio della geometria non è affatto intuitivo in quanto non vi è un solo spazio intuitivo ma ve ne sono molti, tanti quanti sono i sensi spaziali posseduti : dunque vi è uno spazio ottico se non due (essendoci due occhi nell’uomo), uno spazio tattile, uno spazio delle sensazioni motorie. Tutti questi spazi sono tra loro radicalmente diversi. Lo spazio del geometra è invece uno solo e non è identico a nessuno degli spazi intuitivi. Esso è una costruzione concettuale che si forma con i dati spaziali dei singoli sensi e con l’ausilio del metodo delle coincidenze che coordina univocamente i singoli elementi degli spazi soggettivi. Questo a sua volta conduce alla formazione del concetti di “punto” nello spazio oggettivo.

Kant, continua Schlick, contrappone allo spazio intuitivo l’ordinamento non noto delle cose in sé. Invece noi abbiamo esperienza di diversi spazi intuitivi e ad essi contrapponiamo l’ordinamento dei corpi fisici che è appunto lo spazio geometrico. Negli spazi intuitivi gli assiomi geometrici non valgono : lo spazio della vista è uno spazio riemanniano, mentre lo spazio delle sensazioni tattili e muscolari forse non è euclideo. Perciò, conclude Schlick, la geometria non mantiene la sua validità quando ai suoi concetti si attribuisce un senso intuitivo. Alla nostra intuizione di spazio non sono peculiari determinati assiomi geometrici. Noi non possediamo alcuna intuizione dello spazio geometrico : questo è una configurazione concettuale che si costruisce così che possiamo, con il suo ausilio, formulare le leggi di natura nella forma più semplice possibile.

Questa costruzione e scelta degli assiomi non è che abbia luogo solo ad un certo stadio di sviluppo della fisica, perché già le esperienze della vita quotidiana sono riccamente permeate di una conoscenza di legalità di natura ed anche il concetto di “corpo” non potrebbe venire in essere senza certi concetti geometrici. Il punto di vista indicato guida l’uomo inconsciamente cosicché c’è bisogno di acute indagini per arrivare a conoscere che siamo guidati da un tale punto di vista.

La geometria euclidea, che era quella della vita quotidiana, sembrava dovesse fare da base per tutti gli scopi della scienza della natura. Ma la relatività einsteiniana pensa che la più esatta descrizione della natura implichi una geometria diversa dipendente dal potenziale di gravitazione del luogo preso in esame.

Schlick ribadisce poi che la descrizione fisicale della natura non è vincolata ad una particolare geometria : la scelta degli assiomi geometrici è a nostra descrizione ed in genere scegliamo gli assiomi che conducono a leggi fisiche di massima semplicità. Gli assiomi insomma sono definizioni e la geometria, sia come scienza di concetti che come scienza dello spazio, non procede da proposizioni sintetiche a priori ma da convenzioni, da definizioni implicite.

All’interno di queste definizioni la geometria ha carattere analitico. Ma le nostre asserzioni sui rapporti spaziali reali non appartengono alle geometria pura, ma alla sua applicazione a materiale empirico. Dunque hanno carattere sintetico a posteriori e solo l’esperienza decide della loro validità. Lo spazio geometrico è un espediente concettuale per designare l’ordinamento del reale : non c’è intuizione pura di tale spazio, né su di esso vi sono proposizioni sintetiche a priori.

 

 

La questione dell’aritmetica

 

Schlick poi sposta la sua attenzione sull’aritmetica : troviamo forse tra le proposizioni dell’aritmetica quei giudizi sintetici a priori che si sono cercati invano nella geometria ?

Kant ha erroneamente pensato che l’intuizione di tempo potesse svolgere per l’aritmetica un ruolo analogo a quello dell’intuizione di spazio per la geometria. Schlick obietta che il tempo è richiesto certo per il contare, ma la relazione è psicologica non epistemologica, poiché tutti gli altri atti psichici si compiono nel tempo. Anche la scrittura dei numeri è psicologicamente ma non epistemologicamente collegata allo spazio.

La dimostrazione del carattere analitico-deduttivo della geometria pura, ossia la dimostrazione della derivabilità di tutte le sue proposizioni da definizioni implicite fu fornita da Hilbert dietro il presupposto che l’aritmetica rappresentasse un insieme di verità esente da contraddizioni e consistente solo di giudizi analitici su concetti definiti implicitamente.

Che tutte le proposizioni aritmetiche si lasciassero derivare da un piccolo numero di assiomi non era da mettere in dubbio. Ma che questi assiomi possano essere concepiti come definizioni implicite dei concetti aritmetici fondamentali (in particolare i numeri) è dimostrato solo una volta che sia  mostrata l’incontraddittorietà di tali assiomi, in quanto giudizi che si contraddicono non definiscono nulla. Hilbert con Bernays è riuscito in geniali lavori a realizzare nell’essenziale questa dimostrazione e con ciò la natura analitica dei giudizi aritmetici è assicurata, giacché la loro validità non si basa sull’intuizione,. Quest’ultima  non è base della validità, ma mezzo per la comprensione dei giudizi aritmetici, per cui essi non hanno una funzione epistemologica, ma solo psicologica.

 

 

 

 

 Kant, la matematica e le scienze 

Schlick dice poi che, parlando di geometria, si deve distinguere tra pura scienza di concetti e scienza dello spazio. Tale duplicità non sembra sussistere nel caso dell’aritmetica, anche se potrebbe sembrare che il concetto hilbertiano (formalistico) di numero, consistente nel soddisfare certi assiomi,  sia analogo alla geometria pura, mentre il concetto russelliano (contenutistico) di numero inteso come classe di classi sarebbe analogo a quello della scienza dello spazio. In realtà obietta Schlick il numero hilbertiano è lo stesso che quello russelliano.

Egli dice poi che non vi sono molti altri giudizi il cui fondamento sarebbe un’intuizione  pura di tempo e quei pochi hanno più un ambito psicologistico che non logico. Il tempo psicologico non è quello matematico e quest’ultimo è una costruzione concettuale che, come lo spazio astratto, permette una formulazione semplificata delle leggi di natura. La Relatività pure ha contribuito a tale versione più astratta del tempo, versione che permette di pensare ad un tempo che non scorre uniforme e a differenti misure di tempo, a secondo dello stato di moto del sistema a cui viene riferita la descrizione dei processi di natura.

Dunque, Schlick conclude che spazio e tempo non sono forme a priori dell’intuizione, nel senso che renderebbero possibili dei giudizi sintetici universalmente validi. I fondamentali giudizi spaziali e temporali delle scienze esatte non hanno carattere sintetico a priori, né c’è la possibilità di una conoscenza di realtà apoditticamente valida.

 

 

 

 

 

Scienze di concetti e sintetico a priori

C’è un’ambiguità in chi sostiene il carattere non sintetico delle conoscenze logico matematiche : c’è chi dice che si tratta di una conoscenza che non riguarda il reale, c’è chi dice invece che non si tratta affatto di un incremento di conoscenze (giocando magari su di una distinzione fasulla tra conoscenza ed incremento di conoscenza)Inoltre la concezione della conoscenza come ri-conoscimento è troppo generica e vaga e si presta a malintesi. In secondo luogo non è che i concetti legati alla realtà siano inesatti : essi in sé sono esatti come i concetti slegati dalla realtà. È il criterio di validità ad essere diverso : per i concetti slegati dalla realtà basta la coerenza sintattica, per i concetti empirici invece è il rapporto problematico con un flusso d’esperienza che va per conto proprio.

Quanto al tentativo di Kant egli ci fornisce una teoria possibile che garantisca una conoscenza universalmente valida, ma non ci garantisce una conoscenza universalmente valida. Essa teoria dunque non si differenzia da una qualsiasi teoria metafisica. Dunque il criticismo kantiano presuppone un’altra forma di dogmatismo. Kant presuppone i principi a priori ma non li dimostra e la sua definizione di esperienza presuppone questi principi cosicché l’esperienza non potrà mai sconfessare i principi stessi.

Infine le leggi degli oggetti d’esperienza non equivalgono alle leggi dell’esperienza stessa : nel naturalismo la fisiologia della conoscenza non ricapitola la cosmologia.

Quanto alla natura di scienza dello spazio della geometria Schlick fa confusione perché pensa che, se gli assiomi sono sintetici ed i teoremi seguano analiticamente dagli assiomi (e siano logicamente equivalenti ad essi), anche i teoremi siano sintetici. Ma i teoremi sono L-equivalenti agli assiomi, ma proprio per questo epistemologicamente differenti da essi (in quanto analitici).

Inoltre non si può ridurre lo spazio geometrico ad ausilio per la fisica e le scienze naturali : la geometria è una disciplina autonoma. Ci si deve domandare anche se la conoscenza inconscia della legalità di natura rimanga sempre una conoscenza e se, essendo inconscia, non sia in un certo senso un apriori per quanto problematico e storicizzato.

Ancora, come l’applicazione della geometria può essere sottoposta a verifica empirica se si può valutare solo la semplicità delle leggi fisiche a cui una scelta di assiomi può condurre ? Schlick qui si contraddice perché da un lato parla di convenzionalismo (non solo della geometria pura, ma anche di quella applicata) e dall’altro di verifica empirica. Infine se esiste una geometria pura, lo spazio geometrico non è solo un espediente concettuale per designare l’ordinamento del reale.

Ci dobbiamo chiedere anche se la non contraddittorietà degli assiomi tra loro non valga anche a prescindere dal fatto se gli assiomi siano concepibili come definizioni implicite.

Inoltre la prova di Godel rimette in corsa la concezione della matematica come sintesi apriori kantiana (come crede Odifreddi) ? E se fosse così come s’introdurrebbe in tale discorso neokantiano una nozione come l’intuizione pura ?

Perché poi un mezzo per la comprensione non è immediatamente una base di validità ? L’apprendimento di una nozione non passa per la rappresentazione di cosa succederebbe se esso fosse, in un qualsiasi senso, vera ?

Ancora, per quanto riguarda il rapporto tra dimensione numerica e dimensione temporale, notiamo che per Bergson la separazione tra tempo soggettivo e tempo oggettivo è una sorta di dramma filosofico. Perché per Schlick no ? A nostro parere il concetto di ordine asimmetrico collega tra di loro i concetti di numero, spazio e tempo : il numero non si riduce a spazio e tempo e tuttavia tra di essi c’è un legame non del tutto contingente.

Da che deduce Schlick infine che il numero secondo Hilbert equivalga al numero secondo Russell ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


22 marzo 2010

Definizioni e sistemi formali in Schlick

 

Le difficoltà dei rapporti tra percezione e memoria ed il ruolo dei concetti

 

Schlick dice che, se ho in mano un pezzo di metallo, non posso sapere se è argento sulla base della comparazione tra rappresentazione percettiva e rappresentazione mnemonica. Dobbiamo infatti ricorrere al concetto scientifico di argento (peso specifico 10,5 oppure peso atomico 108 etc.) e vedendo se il pezzo di metallo ha queste proprietà, veniamo a sapere se si tratta di argento o meno.

Schlick poi nota che anche la lettura di una scala, la posizione di un indice sono osservazioni sensoriali, riconoscimenti di immagini percettive e dunque sottoposte all’insicurezza di cui si è parlato prima. Egli da ciò deduce il fatto che ogni definizione si riferisce a caratteristiche che alla fine sono sempre di natura intuitiva. Schlick riconosce che la difficoltà per la quale erano stati introdotti i concetti è stata soltanto spostata, ma tuttavia con l’introduzione dei concetti è possibile, grazie a definizioni appropriate, trasferire quella difficoltà a livelli dove ogni errore può essere escluso con una sicurezza sufficiente per tutti gli scopi delle scienze individuali.

A tal proposito Schlick fa degli esempi :

  • Se il concetto di “pesce” è quello di un animale che depone uova e respira per mezzo di branchie, non si potrà mai cadere nell’errore di prendere una balena per un pesce.
  • Anche le caratteristiche del concetto di “argento” sono scelte allo stesso modo cosicché, per tutti i fini pratici come per quelli scientifici, il riconoscimento possa essere garantito con precisione sufficiente.

 

La necessità dell’intuizione

 

Schlick però intravede un’altra possibile obiezione e la sviluppa compiutamente : tale obiezione afferma che, essendo la definizione di un concetto consistente nella specificazione delle sue caratteristiche, queste, perché possano essere determinate con esattezza, debbono venire definite a loro volta e cioè risolte in ulteriori caratteristiche e così via. Le alternative sono a questo punto due :

  • Un regresso ad infinitum che renderebbe illusorio ogni definire.
  • Un arrivo a caratteristiche intuitive non suscettibili di definizione, che però per loro natura non sarebbero esatte e l’esito sarebbe lo scetticismo.

Schlick aggiunge che i vissuti empirici non sono oggettivamente indeterminati, ma tuttavia sono instabili e transeunti così da rendere problematica la loro riproduzione e la loro conoscenza, giacchè il ritenerli nella memoria va incontro a difficoltà già evidenziate.

Schlick poi riferisce la tesi dei logici (tesi forse di ispirazione aristotelica) per cui i principi primi della logica non solo non sono suscettibili di definizione, ma non ne avrebbero nemmeno bisogno : il contenuto dei concetti più semplici viene esibito dall’intuizione (ostensione).

Schlick argomenta che questa tesi o significa che l’intuizione non è confusa, ma chiara e distinta, oppure significa che la certezza assoluta non è né raggiungibile né forse necessaria (Gorgia e forse Stuart Mill). Secondo quest’ultima concezione, anche le proposizioni dell’aritmetica sono proposizioni empiriche che partecipano di quella mancanza di certezza che è propria dell’empiria. Quanto alla prima alternativa, aggiunge Schlick, essa dice che se il dato è fugace, c’è in esso qualcosa di costante ed è la legge che lo informa. Il problema per Schlick è cosa sappiamo di tali regole ? Come le possiamo conoscere se il nostro criterio sono sempre i contenuti intuitivi ?

Schlick esemplifica il proprio programma di ricerca con un dilemma : il contenuto di tutti i concetti può essere trovato solo nella dimensione intuitiva o il significato di un concetto può non essere riducibile a rappresentazione empirica e dunque dare luogo a conoscenza non effimera ?

 

 

Hilbert ed il ruolo della matematica nella logica

 

Schlick sostiene che la spinta per risolvere questioni di logica è venuta dalla matematica. All’inizio i matematici accettavano l’indefinibilità dei concetti elementari della geometria, ma, nel corso della storia hanno ridotto al minimo i concetti indefinibili e le proposizioni assiomatiche, evitando locuzioni del tipo “Dall’esame della figura segue…” oppure “Dal disegno si vede..”, locuzioni che richiamano sempre un ricorso all’intuizione. E’ stato Hilbert che ha portato a compimento il progetto di riduzione al minimo del fattore intuitivo sia nella definizione dei concetti che nella postulazione degli assiomi. Il principio di Hilbert fu quello di introdurre i concetti fondamentali senza previa definizione, ma attraverso una definizione implicita che passasse attraverso l’uso dei termini negli assiomi, in maniera da soddisfare immediatamente gli assiomi che li contengono.

Schlick tramite Hilbert argomenta che i concetti non hanno valore conoscitivo autonomo, ma solo all’interno di proposizioni (ad es. gli assiomi) da cui si inferiscono altre proposizioni. Con la definizione implicita non si crea qualcosa di nuovo, ma si reinterpreta la natura dei concetti usati il cui significato intuitivo non ha importanza. Tutti i concetti invece sono definiti solo attraverso il loro stare (ciascuno con tutti gli altri concetti) in quelle determinate relazioni stabilite dagli assiomi.

La geometria hilbertiana è caratterizzata da un sistema di proposizioni con parole come “punto”, “retta”, “piano”, “tra”, “fuori di”, i quali non hanno senso in sé, ma ricevono senso attraverso il sistema di assiomi e tutto il loro essere consiste nell’essere portatori delle relazioni stabilite dal sistema. A Schlick ciò non comporta alcun problema visto che i concetti non sono in sé nulla di reale ed egli argomenta verso tutti coloro che rimangono perplessi di fronte a concetti senza significato proprio e fa l’esempio della geometria dove ad es. nelle geometrie non-euclidee i concetti di retta, piano, punto stanno tra loro nelle medesime relazioni, ma hanno rappresentazioni intuitive diverse (ad es. la retta è un cerchio, il piano una superficie sferica).

 

 

Assiomatica e geometria

 

Per Schlick come per Carnap la conoscenza è conoscenza della forma (platonismo) e nella geometria analitica il punto è solo una tripla di numeri. La geometria non è propriamente scienza dello spazio, giacchè le configurazioni spaziali svolgono solo il ruolo di esempi intuitivi in cui le relazioni fissate in astratto nelle proposizioni geometriche si trovino realizzate. Secondo Schlick, mentre la definizione concreta rimanda ad un qualcosa di reale, all’intuizione, la definizione implicita rifiuta questo rinvio. Egli è consapevole che una pura rete sintattica può essere un mero gioco di simboli (formalismo). Ma ci sono scienze della realtà che applicano questi concetti alla dimensione dell’intuizione, anche se senza la sicurezza di un perfetto rigore.

Schlick dice che Kant, dando per scontato che i giudizi geometrici erano apoditticamente certi, si premuniva di spiegare perché. In realtà tale presupposto non è più tanto certo ed egli si rende conto che la coerenza resa possibile dalla definizione implicita si contrappone alla dimensione dell’intuizione del mondo reale, generando un rinnovato dualismo di marca quasi cartesiana. Schlick considera tale separazione un costo necessario per la chiarificazione dei termini del problema e per individuare le reali relazioni tra i due termini così nettamente distinti. Egli dice poi che non ogni gruppo arbitrario di postulati può essere assunto come definizione implicita di una serie di concetti. Gli assiomi ad es. non debbono contenere alcuna contraddizione, né devono implicarla e tale dimostrazione è un compito difficile che però è interno alla teoria in questione e può essere immaginato come risolto.

Schlick infine precisa che in matematica la definizione esplicita è una definizione che esprime un concetto mediante una combinazione di altri concetti, in modo tale che questa combinazione possa essere sostituita al concetto definito ovunque esso ricorra. La definizione implicita si ha quando una tale combinazione non può essere specificata.

 




Come riconosciamo l’argento ?

 

Per ciò che riguarda la tesi per cui la comparazione tra rappresentazione percettiva e rappresentazione mnesica non è affidabile per il riconoscimento di qualcosa (ad es. l’argento), c’è da dire che comunque non esiste un metodo migliore dal punto di vista della certezza, ma solo dal punto di vista dell’esattezza. Infatti il concetto scientifico di argento per essere costituito e verificato pure ha bisogno della comparazione tra rappresentazione percettiva e rappresentazione mnesica : certe proprietà (peso specifico etc), per poter definire l’argento o debbono essere assiomaticamente tali (per cui “argento” diventa un  nome per un qualcosa che abbia queste proprietà) oppure debbono essere ricavate da un oggetto il cui “essere d’argento” è stato desunto tradizionalmente e cioè tramite una comparazione tra rappresentazione percettiva e rappresentazione mnemonica.

Come abbiamo visto, Schlick ammette che alla fine il rinvio è sempre all’intuizione, ma pensa che le difficoltà si sono spostate ad un livello dove l’errore può essere escluso con una certa sicurezza. Il problema è che l’esempio della balena non ci aiuta per niente : infatti in tal caso la definizione di errore è correlata a come sia stato definito il concetto di “pesce”. Quest’ultimo a sua volta non ci è di aiuto, ma è il risultato di una linea di demarcazione che è stata tracciata e si spera possa essere condivisa da tutti, in modo da rendere stabili e sufficientemente prevedibili le comunicazioni relative a tali argomenti. La cosa vale anche nel caso del concetto di “argento” con l’aggravante che in questa variante la verifica cosiddetta scientifica presuppone l’uso di strumenti che non sono alla portata di tutti. In tal caso il riconoscimento diventa possibile solo a pochi, compromettendo la riproduzione diffusa e condivisa del sapere : Perché la definizione scientifica di argento deve essere accettata da uno che non ha gli strumenti per poterla testare ? Ed estendendo la portata di tale problema,  perché uno che non è potuto andare a scuola non deve credere ai miracoli ? Perché uno che non ha accesso empirico ad un acceleratore deve convenire sull’esistenza degli atomi ? Il suo approccio alla questione è, in tali casi, lo stesso di un cristiano all’epoca del Medioevo (dovrebbe cioè credere per il principio di autorità, perché lo dice Boncinelli e la maestra a scuola etc. ).

 

 

Il rinvio ad infinitum è per forza un fallimento ?

 

Il ricorso all’intuizione da parte di Schlick come punto ultimo del definire (almeno nel caso della definizione esplicita) si basa sul rifiuto del rinvio ad infinitum, ma quest’ultimo è per forza un segno del fallimento dell’impresa conoscitiva ? In realtà lo è solo per chi ritiene che i concetti e le definizioni siano costitutive del loro oggetto, dal momento che, in questo caso,  il loro operare non avrebbe né compimento né verifica. Ma se l’oggetto della definizione fosse esterno ad essa, esso potrebbe essere inesauribile, sfuggente e ciò non comporterebbe un fallimento a priori dell’impresa conoscitiva. Dire poi che i contenuti intuitivi siano ontologicamente determinati è un’assunzione che a rigore, dati i presupposti da Schlick stesso accettati (un’antimetafisica radicale), non si potrebbe fare gratuitamente : sarebbe già di per sé una indebita escursione nell’ontologia.

 

 

Aporie hilbertiane

 

Quanto alle tesi di Hilbert (che, come si vede non solo da qui, hanno avuto un ruolo fondamentale nell’evoluzione del Neopositivismo logico), c’è da dire che i termini nella sua assiomatica sembrano definire solo delle funzioni, con un formalismo sintattico che sembra rifiutare qualsiasi riferimento semantico. (anche se questo approccio ricorda metaforicamente l’ontologia dello Hua-Yen Sutra per il quale l’intuizione della verità è l’apprensione dell’intera rete interdefinita della realtà attraverso uno dei suoi nodi) Nel caso di Hilbert l’intuizione forse non si riferisce però all’aspetto semantico ma al valore di verità (che non è verificato empiricamente, ma attribuito assiomaticamente). L’assenza del ricorso all’intuizione fa sì che nei sistemi di Hilbert sia assente il livello della F-verità ? Del resto se presupponiamo che la teoria di Neurath sia un corollario filosofico delle indagini hilbertiane notiamo che anche in Neurath il riferimento all’intuizione ed alla realtà empirica spariscono dall’orizzonte teorico. Se la rete sintattica è completa in se stessa, come si può applicare all’intuizione ? Una soluzione potrebbe essere l’isomorfismo spinoziano di Wittgenstein ?

Intanto c’è da dire però che l’approccio hilbertiano comporta una chiusura monadistica del sistema stesso, nella quale i termini possono essere solo interni al sistema e non possono rivolgersi all’esterno senza che questo non implichi un’estensione del sistema (che deve reincludere questo contesto al proprio interno). Ciò implica il rischio di una chiusura reciproca dei linguaggi, monadi  complete, coerenti e chiuse ad altri sistemi linguistici. E va risolto il problema di come si possano rapportare tra di loro. Per Schlick, come abbiamo visto, ciò non implica alcun problema in quanto i concetti non sono nulla di reale. Ma considerare reale solo ciò che è isolabile o definibile in sé (come un’essenza aristotelica) è un residuo dogmatico. Per cui è necessaria una dialettica che renda possibile una rappresentazione ontologica che faccia da correlato agli strumenti che Hilbert ha elaborato (Imre Toth sembra essersi impegnato in un’impresa del genere).

Se la definizione implicita rifiuta il rinvio all’intuizione e dunque una sorta di asimmetria della rete concettuale, ciò non  presuppone una circolarità tra assiomi e teoremi, vista anche l’interdefinibilità tra i concetti di un sistema formale ?

Ed ancora il fatto che nella definizione implicita non può essere specificata la combinazione di concetti in cui si risolve un altro concetto, lo si deve alla circostanza per cui la definizione implicita è un rinvio circolare (e perciò infinito) ad una rete sintattica, tale da non consentire l’esplicitazione di una combinazione base finita di concetti ?

Possiamo accennare in ultimo al fatto che alcune tesi di Schlick circa il carattere sempre interno al sistema formale della dimostrazione sono state messe in questione dalla prova di Godel.

 

 

La geometria non è mera assiomatica

 

L’esistenza del concetto sussiste proprio nelle relazioni logiche che instaura con altri concetti e non nelle rappresentazioni intuitive con cui si lega kantianamente all’empiria. Schlick sembra confondere Concetto e Vorstellung, cosa che Kant ed Hegel non facevano. L’”esser funzione” proprio del Concetto non è una dimostrazione della sua inesistenza, ma una forma di esistenza che non è legata all’empiria, l’appartenenza ad un livello ontologico suo proprio. E’ Schlick che prima vincola la conoscenza all’intuizione e poi svilisce il ruolo della rappresentazione intuitiva. Ma è il suo punto di partenza validativo che è sbagliato.

Egli sbaglia a mettere sullo stesso piano sillogismi, sistemi deduttivi ed espressioni algebriche. Altro è l’applicabilità di un’espressione formale a diversi contesti (formalismo), altro è il valore di verità di una tautologia quale che sia il significato dei termini interni alle proposizioni. Quando Schlick dice che nella geometria analitica il punto è solo una tripla di numeri, è necessario essere cauti in quanto quei numeri comunque indicano linee che si intersecano, perché ci sono relazioni ben definite tra quei numeri e forse di tipo non unicamente aritmetico. Schlick si ostina a confondere la geometria con l’assiomatica, quando la geometria è un’applicazione concreta dell’assiomatica, applicazione volta a sistematizzare una teoresi sullo spazio (fisico, percettivo), teoresi a sua volta fondata su assunzioni intuitive o presunte tali.

 

 


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