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18 aprile 2011

Conto e racconto : numero e scrittura

La scrittura fu una delle grandi rivoluzioni dell’umanità, assieme al fuoco, all’agricoltura, ai numeri ed alla ruota. Essa è la rappresentazione visiva, dunque la memorizzazione e l'organizzazione più efficiente, del pensiero.

Ad un certo punto della storia dell’uomo sembra che la memoria individuale non basta più, in quanto è limitata, non è verificabile ed è dunque rischiosa. Non ci sono processi psichici collettivi.

Gli oggetti esterni, il legno, la pietra sono più stabili e su di essi si possono sovrapporre magicamente dei significati (in seguito la necessità di supporti sempre più duraturi ed estesi, il rischio di perdere anche lo scritto, è stata uno dei motivi della nascita della burocrazia).

Con la scrittura si ha un sistema che ci permette sia la notazione dei numeri sia le operazioni su di essi, senza alcun supporto esterno (come l’abaco).

 L’invenzione, preceduta da tentativi incerti, da avanzate e stasi, da rivoluzione e repressioni è quella di denotare i numeri mediante i segni grafici: le cifre (sulla contraddizione e sulla dialettica che scaturisce da questo rapporto torneremo più in là).

 


6 aprile 2011

Conto e racconto : i vantaggi della base decimale

Aspetti positivi del sistema a base 10 sono come si è già detto:

·        Il miglior adattamento alla memoria umana (rispetto ad es. alla base 60)

·        Una tavola di moltiplicazione facilmente memorizzabile

·        Migliore rappresentabilità grafica rispetto a basi più piccole (es. in un sistema binario 2452 sarebbe 100110010100)

Tuttavia queste ragioni non sarebbero sufficienti rispetto a basi vicine alla base 10, quali la base 11 e la base 12.

La base 12 ad es. preferita dal naturalista francese G. Buffon:

·        Ha più divisori e dunque calcolatori e commercianti sarebbero facilitati perché della base potrebbero utilizzare la metà, un terzo, un quarto ed un sesto.

·        L’anno avrebbe un numero di mesi uguale alla base.

·        Un giorno avrebbe un numero di ore doppio della base.

·        Un ora ed un minuto avrebbero rispettivamente un numero di minuti e di secondi quintupli della base.

·        La misura in gradi del cerchio sarebbe 30volte la base e così pure l’eclittica.

Molte ragioni per preferire la base 12 sarebbero cioè legate al fatto che molte misurazioni si effettuano ancora con base 12 o base 60 e fondamentalmente  sulla presenza di un maggior numero di divisori. Quest’ultimo aspetto ha un inconveniente nella presenza di un maggior numero di ridondanze (doppioni) frazionarie (es. nel sistema decimale 0,68 è lo stesso che 68/100, 34/50 e 17/25).

La base 11 invece ha una rappresentazione priva di queste ambiguità in quanto essendo un numero primo è divisibile solo per se stessa, per cui le frazioni sarebbero irriducibili ed avrebbero una sola rappresentazione simbolica possibile.

 

Per tutte queste ragioni però la base 10 sembra essere il giusto mezzo tra base 12 (troppi divisori) e base 11 (nessun divisore), oltre ad avere l’indubbio vantaggio di essere esemplificabile in maniera immediata dal numero delle dita delle mani con un forte vantaggio nell’apprendimento infantile. Per Boyer la formalizzazione linguistica e poi scritta di una base 10 già esistente e somaticamente ben riconoscibile, è stata decisiva per il trionfo della base 10. Se, cosa abbastanza improbabile, il linguaggio scritto avesse preceduto la costituzione della base si sarebbe potuto pensare ad una molteplicità di basi.     

Comunque storicamente la scelta della base 10 si è definita in maniera quasi ufficiale e politica con le decisioni prese dalla Convenzione di Parigi dopo la Rivoluzione francese che disciplinò anche i sistemi di misurazione almeno per ciò che riguarda l’Europa continentale.

 

Nelle popolazioni più primitive le diverse basi hanno distribuzioni diseguali ma qualche residuo arcaico rimane sempre: ad es. Eels nel 1913 fece una statistica tra centinaia di tribù del Nordamerica dove concluse che il 31% faceva uso di una base 10, il 31% di una base quinaria-decimale, il 27% di una arcaica base 2, il 10% di una base vigesimale e l’1% di una base 3.

 Del resto ci sono stati anche dei tentativi di usare basi non legate alla mano tipo la base 4 (anche se più probabilmente tale base è legata all’uso del pollice come cursore che conta le altre dita della mano) di cui vi è traccia nella parola indoeuropea per “8” che sarebbe solo la forma duale di “4”, ed anche nella relazione che si può instaurare tra il termine “novem” ed il termine “novum”, quasi che si fosse di fronte ad una nuova serie numerica su base ottonaria.

 


5 aprile 2011

Conto e racconto : la base 10

Ma la base che ha poi storicamente trionfato  è la base 10, un felice compromesso, né troppo grande (con l’inconveniente di troppi segni elementari) né troppo piccola (con l’inconveniente di complicate combinazioni di pochi segni). Inoltre tale base è ben radicata nella costituzione degli arti dell’essere umano (le 10 dita). Il sistema decimale è simmetrico, ed esteticamente gradevole, con una procedura di costituzione periodica dei numeri a tutti livelli praticamente identica ( in pratica non c’è bisogno di basi ausiliarie come nel caso della base 60).

 

 

La vasta diffusione della base 10 è forse legata alla discesa degli Indoeuropei ed all’esistenza di una sola lingua madre nel 2500-3000 a.C., giacché le affinità linguistiche del lessico numerico fanno pensare ad un’elaborazione precedente l’inizio della diffusione. Forse il sistema decimale si è costituito ad un’epoca in cui c’era ancora la comunicazione unicamente orale, per cui i simboli scritti sarebbero addirittura più recenti dei numerali.

       In certe regioni dell’Africa Occidentale già si può vedere l’utilizzo di una base 10: ad es. gli animali possono venir contati infilando conchiglie in una striscia bianca fino al numero di 10, con il quale si infila una prima conchiglia in una striscia blu che fa da supporto mnemonico esterno, si svuota la striscia bianca e la si riempie di nuovo fino sempre a 10 etc.; quando la striscia blu arriva poi a 10 conchiglie (10 decine), si svuota e si mette una prima conchiglia in una striscia rossa (centinaia) etc.

Anche in Cina troviamo un sistema decimale ben sviluppato:

1= yi   5= wu 9= jiu
2= er   6= liù 10= shi
3= san  7= qi
4= si 8= ba
11= shi-yi (10+1)  12= shi-er (10+2) 13= shi-san (10+3)
20= er-shi (2x10)    30= san-shi (3x10)  40= si-shi (4x10) 
100= bai   200= er-bai (2x100)    300= san-bai (3x100)
1000= qian   2000= er-qian (2x1000) 10000= wan

               

            

   

                    

 

 

53.781

Cinquantatremilasettecentottantuno                      33 lettere in italiano letterale

Wu-wan san-qian qi-bai bai-shi yi                     24 lettere in cinese

Cinquediecimilatremillesettecentoottodieciuno       45 lettere traducendo in italiano letterale

 

Dal precedente specchietto si vede che comunque il sistema cinese è meno rispettoso delle regole del sistema decimale in quanto ad es. 10000 che da noi è chiaramente dieci-mila, in esso è un termine coniato ex-novo (wan)

 


4 aprile 2011

Conto e racconto : le ragioni della base sessagesimale

Perché la base 60?

1.      Ipotesi di Neugebauer. Nei testi economici cuneiformi importanza primaria ebbe l’unità di peso ( lo shekel che era 1/60 del mana ) come l’assis latino che era 1/12 di oncia e poi divenne 1/12 di ora. A tale ipotesi si può obiettare che un sistema metrologico presuppone un sistema di numerazione e non il contrario.

2.       Ipotesi astronomica. Anno 360 giorni ( 12 mesi lunari x 30 giorni); zodiaco 6 costellazioni; sole in ogni costellazione 60 giorni; possibilità di dividere un cerchio in sei parti uguali di 60° ognuna e con la corda di una di esse (sestante) uguale al raggio del cerchio stesso. A tale ipotesi si può obiettare che la suddivisione del cerchio in 360° avvenuta solo negli ultimi secoli a.C., evidentemente dopo l’introduzione della base 60.

3.      60 rapporto tra l’ora sumera (2 h ) e il diametro apparente del sole espresso in unità di tempo pari ognuna a 2 mn.

4.      Ipotesi della natura mista della base 60. Questa sarebbe il frutto di una sintesi tra base 10 e base 6 e la prova sarebbe le modalità di costituzione dei numeri sumeri vista sopra (v. il ruolo del numero ‘6’). Ma questa tesi ha l’inconveniente di dover poi spiegare  l’origine altrettanto misteriosa di questa base 6.

5.      Ipotesi utilitaristica (Teone di Alessandria IV sec. d.C.).Base 60 ha tanti divisori compresi i primi 6 numeri interi di cui è il minimo comune multiplo oltre ad esserlo di 12 e 10. Tale sistema consente di rappresentare molte frazioni con interi (es. ½ sarebbe 30=60/2) Ma questo spiega meglio il successo della base 60 ma non tanto la sua origine. Anche se è ragionevole pensare al frutto di uno studio approfondito fatto da una classe sacerdotale specializzata come quella mesopotamica, visto che si sovrappose probabilmente ad un sistema decimale spontaneamente usato (e di cui vi è traccia come sistema ausiliare).

6.      Ipotesi di Ifrah. Base 60 sarebbe la sintesi tra la base 5 e la base 12 ( fondata sulla conta delle falangi di quattro dita), la base 12 computata su di una mano e quella 5 computata come multiplo del 12 sull’altra mano. Oppure il contrario (la base 5 computata su una mano e la base 12 come multiplo del 5 sull’altra mano): traccia linguistica di quest’usanza  sarebbe in latino il termine “digiti” per indicare le unità ed il termine “articuli” per indicare le decine. Dalla Mesopotamia questa tecnica si sarebbe diffusa ad Oriente (India). Questa è la tesi che per noi è preferibile.  


18 marzo 2011

Conto e racconto : il binario dei numeri

Per alcuni il sistema a base DUE era precedente alla conta con le dita della mano ed aggiungono che vi sia stato un unico centro diffusionale di questa tecnica di computo, ma è più facile pensare ad una pluralità di centri in cui si sia costituito una sorta di approccio intuitivo alle quantità legato alle basi materiali del pensiero, approccio che verrà successivamente elaborato in maniera differenziata a seconda della latitudine (si pensi ai miglioramenti del sistema apportati da Zamuto, Boscimani ed altri).

Interessante poi a proposito del passaggio dalla conta col corpo a quella con la mano il sistema cosiddetto neo-binario e cioè un sistema intermedio in cui ad es. negli Aborigeni australiani abbiamo 1,2,3 e poi (2+2), (2+3), (3+3) etc.

A volte il metodo di aggregazione dei numeri base per costituirne altri è additivo, altre volte è moltiplicativo, altre volte c’è la sottrazione.

Ad es. una tribù primitiva del Paraguay conta

1,2,3,4, (2+3), (2x3), 1+(2x3),(2x4), 1+(2x4), 2+(2x4)  etc.

                            (2x4)-1           (2x5)-1      (2x5)

  

Poi, come vedremo, quando si introduce la mano, avremo che (2+3) o (2x2+1) diventano 5, mentre 4 diventa (5-1) e da ciò deriverà la notazione numerica romana.

Vediamo una sequenza a tal proposito :

1,2,3,4,  5 (MANO), (5+1),(5+2),(5+3),(5+4),  (5x2), (5x2+1), (5x2+2), ...., (5x3), (5x3+1), (5x3+2)....., (5x4) .....etc.

Comunque il sistema neo-binario o altri sistemi misti affini diventavano scomodi quando, elaborata un’unità collettiva (base o modulo) minima , il computo a sua volta genera un meta-computo delle colonne in cui sono distribuiti le unità ed i moduli formati dalle stesse unità. Tale meta-computo finisce anch’esso per trovarsi contro i limiti di cui il modulo è espressione o, superati questi, contro i limiti naturali della percezione diretta della quantità. Per fare un esempio, partiamo da un sistema a base numerica TRE :  

III

III

III

III

Come su può vedere, il numero delle file, ognuna di tre unità, è 4 e cioè più del modulo TRE appositamente adottato per evitare confusioni percettive e di lettura (ricordiamo a tal proposito che non ci troviamo in questo caso di fronte ad un sistema posizionale analogo al nostro dove ogni colonna successiva è un ordine numerico differente).

Il neo-binario che come abbiamo detto è una forma mista è anche geograficamente contiguo con residui del sistema binario : a Madras ad es. vediamo un residuo di neo-binario dove  1=.    2=..   3 =...  6= : : :   7= : : : .   8= : : : . .


16 marzo 2011

Conto e racconto : le basi numeriche

Un altro importante e successivo passaggio di questa storia è quello dal corpo umano alla mano come strumento di conta. Prima di affrontare quest’argomento vale la pena però di fare una digressione sulla base numerica che ha preceduto l’introduzione della mano come “macchina” per contare ; per base numerica s’intende il primo modulo di computazione con all’interno tutte le cifre semplici di un sistema, tutti i segni fondamentali la cui reiterazione riproduce tutta la serie numerica nella sua illimitatezza. La prima base, come abbiamo già visto, è la base DUE che alcuni collegano alla simmetria, al carattere bilobato di alcuni organismi biologici tra cui il corpo umano stesso (2 orecchie, 2 occhi, 2 braccia, 2 gambe etc.). I popoli che non sanno contare in maniera più astratta sono quelli che si dice contino per base due : tale sistema era forse diffuso in tutto il mondo, mentre attualmente se ne trovano tracce solo nell’emisfero australe ( abbiamo visto i Botocudos, i Damera, e poi i Gumulgal australiani, i Bakairi sudamericani ed i Boscimani).

Questi sistemi si spingono sino ad un certo punto : ad es. gli Indios Zamuco arrivano sino a 9 (2+2+2+2+1). Il sistema fu anche perfezionato :

ad es. in un’iscrizione persiana dell’epoca di Dario I (circa VI A.C.), c’è un elenco di simboli numerici da uno a dieci ; paragonando questo elenco con una precedente iscrizione babilonese (1800- 1600 A.C.) ci si rende conto che il sistema persiano è un’introduzione di un sistema in base DIECI in un contesto preesistente a base DUE : guardiamo ad es. il numero TRE ; in babilonese esso è III mentre in persiano è

I

II

 

 

I      I

         II =   I + (I).

    Come si può vedere, il terzo cuneo è in posizione particolare e rilevante rispetto agli altri due ; mettendo i primi due su piani diversi si crea una base intermedia DUE ausiliare rispetto alla base DIECI, altrimenti il numero TRE sarebbe stato

I

I

I

A tal proposito forse il sistema babilonese era un sistema a base TRE orizzontale , dove il salto di livello avviene con il QUATTRO , con il SETTE e con il DIECI e dove il numero che si aggiunge diventa una sorta di tronco/base di un albero e forse non a caso vedremo che simbolicamente l’albero è collegato al numero 4  

 III     \I/

I        I

 


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