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10 maggio 2011

Conto e racconto : l'addizione egiziana

Gli Egizi facevano anche operazioni aritmetiche.

L’addizione si faceva con la collezione di segni e con la sostituzione di 10 segni di ordine inferiore con un segno di ordine superiore.

 

Es. 1729+ 696= 2425

 

 

 

III ∩∩  ???? ?              

III        ???              

III                               +

 

III ∩∩∩ ???

III ∩∩∩ ???

     ∩∩∩         

-------------------------

III        ∩∩    ???? ??

 II

 


9 maggio 2011

Conto e racconto : la matematica egizia

La matematica egizia è comunemente considerata rozza, ma in tale giudizio non si tiene conto della scarsità dei dati archeologici a nostra disposizione e del fatto che i Greci hanno sempre esplicitamente fatto riferimento all’influenza che essi hanno ricevuto dalla cultura egiziana, dal tempo in cui il faraone Amasi consentì ai Greci stessi di costituire dei propri empori commerciali nella città di Naucrati (600 a.C. circa). A quanto pare, Erodoto, Ecateo, Pitagora, Democrito hanno a lungo soggiornato in Egitto. Inoltre ci sono nei non molti papiri tradotti riferimenti a concezioni spregiudicate della conoscenza: sia l’architetto Ineni che il funzionario Senmut (entrambi 1500 a.C.) parlano dell’opera della propria mente soggettiva, di immagini che non si trovano negli scritti degli antenati. Alcuni studiosi ipotizzano che ci fosse in Egitto una tradizione di matematica astratta, che nei periodi di decadenza veniva resa ritualistica ed esoterica.

La matematica per la civiltà egizia era indispensabile per il controllo delle piene del Nilo, per lo scavo dei canali e la costruzione di bacini idrici, per i censimenti, la riscossione di tributi, la distribuzione di terre e la costruzione di silos. Erodono dice che il faraone Sesostris faceva misurare l’estensione di terra danneggiata dall’inondazione per rimborsare i contadini; coloro che operavano le verifiche erano i c.d. “harpedonaptai” (tenditori di corde) ammirati dovunque e conosciuti anche da Democrito. La fonte principale della matematica è il c.d. Papiro di Ahmes, dove il contenuto per noi strettamente tecnico-didattico è presentato come “la penetrazione di tutto l’esistente, la conoscenza di tutti gli oscuri segreti”: sembra quasi che il Pitagorismo abbia tratto qui ispirazione e che tutto il mistero di questa conoscenza iniziatica si risolva nella matematica che noi studiamo a scuola: miracolo della prospettiva storica!

 


6 maggio 2011

Conto e racconto : i faraoni debbono saper contare

L’importanza del computo era tale in Egitto che l’anima del faraone defunto nell’aldilà doveva tra le altre prove contare con le mani fino a 10 e lo faceva in maniera continua dal mignolo della sinistra a quello della destra, oppure dal pollice al pollice. Probabilmente in Egitto la base ausiliaria 5 non era valorizzata in quanto ad es. per indicare il 6 non si faceva 5+1 ma 3+3, alzando tre dita di una mano e tre dita dell’altra. Anche gli Egizi usavano la conta delle falangi e lo facevano in base 12 ma anche in base 14 (contando anche le 2 articolazioni del pollice con l’indice quasi a figurare la castrazione di Seth ad opera di Horus) correlando la conta con le dita con quasi metà del ciclo lunare (14 sarebbero i 14 giorni della luna calante). A conferma di questa tesi c’è l’uso egizio di affiancare al cubito (28 dita) ed alla spanna (14 dita) il cubito corto (24 dita) e la spanna corta (12 dita).

 Il sistema di numerazione decimale ed additivo tra il 2000 e il 1600 a.C. subisce una modifica in quanto , se un numero inferiore precede un numero superiore ci troviamo di fronte ad una moltiplicazione (es.?∩∩ ? = 120x1000= 120.000): ci troviamo di fronte cioè ad un sistema non solo additivo ma anche moltiplicativo.  

 

La notazione geroglifica venne poi sostituita da una notazione ieratica sempre decimale in cui i numeri da 1 a 9 avevano ognuna un simbolo indipendente dovuto alla stilizzazione dei geroglifici precedenti (e soprattutto al fatto che l’impraticità di allineamenti col pennello ha generato alla fine nuovi segni autonomi ed indecomponibili). Tale notazione ieratica è stata la prima di questo tipo (inizi I millennio a.C.) ed ha influenzato sia la notazione numerico-alfabetica greca sia la notazione indiana.

 


4 maggio 2011

Conto e racconto : i numeri egiziani e la loro gerarchia

All’inizio numeri disposti in maniera disordinata.

Dal XXVII sec. a.C. più ordinati (file di non più di 3-4 segni identici.

Valori decrescenti a sinistra, crescenti a destra (inverso che da noi).

Origine grafica delle cifre egizie più complessa di quelle sumeriche ed elamitiche:

·        1= ê. (bastoncino/trattino)   L’origine di questo simbolo è naturale e deriva da tacca su osso. Oppure è un piccolo pezzo di fune.

·        10= .(Ansa ). Forse laccio utilizzato per legare bastoncini/trattini tra loro. Oppure un pezzo di corda più lungo a ferro di cavallo.

·        100= ? (spirale; in egizio ‘sn’). Simbolo di grande numero (labirinto?). Dal trattino.. alla linea curva…alla spirale. Sembra quasi una sequenza logicamente ricostruibile. Oppure un giro di corda avvolta.

·        1000= ? (fiore di loto; in egizio ‘kh’ ). Fiori di loto erano moltissimi e dunque assurgevano a simbolo di grande numero. Oppure usato perché il fior di loto è l’iniziale di khaa = la corda che misura.

·        10.000 = æ (dito piegato; in egizio ‘db’). Probabilmente riproduzione di notazione numerica con le dita della mano.

·        100.000= Ì (girino; in egizio ‘hfn’).  Anche girini erano moltissimi e dunque simbolizzavano grandi numeri.

·        1.000.000= uomo inginocchiato che alza braccia al cielo. In egizio dw’=adorare o rdit iw = lodare o fare festa (forse il corrispettivo del latino divitiae=ricchezze,abbondanza)

Quest’ultimo simbolo può avere a sua volta molteplici interpretazioni:

1.      Uomo impaurito dalla grandezza del numero

2.      Uomo che prega Dio/Infinito

3.      Uomo che regge volta celeste (Atlante)

4.      Uomo che prega le stelle, che per la loro numerosità sono il miglior simbolo dell’Infinito o quanto meno di un numero incalcolabile. Le stelle per i Cinesi simboleggiavano il 1000. Le stelle per gli Ebrei erano l’esercito stesso di Jahvè. Dell’oggetto dell’adorazione non si dà figura: non è possibile e non ve ne è bisogno.

·        10.000.000= ¤ (sole con raggi). Simbolo di Ra? L’Infinito?

 


3 maggio 2011

Conto e racconto : geroglifici

 I geroglifici egizi non sono ripresi dalla scrittura sumera.

Essi si basano su utensili e sulla fauna egizia.

Gli Egizi usano decimali e non i sessagesimali mesopotamici.

Dunque la scoperta dei numeri non ha avuto una sola sede con successiva diffusione, ma è stata ottenuta autonomamente da diverse civiltà in presenza di condizioni storiche più o meno omogenee (Sumeri, Egizi, Cretesi, Indiani, Precolombiani, Cinesi).

Necessità di ordine contabile,amministrativo,commerciale hanno favorito tali processi.

Necessità superamento memoria soggettiva e cultura orale.

 

 Anche scrittura egizia prima numerica, poi letterale.

Primi reperti:

Tavolozza di N(A)-M(E)R 2900 a.C.

400.000 tori

1.422.000 capre

120.000 prigionieri

Statua di Khasekhem 2800 a.C.

47.209 nemici uccisi

4 dita   7 loti    2 spirali            9 trattini

Non c’è bisogno di ZERO perché gli ordini numerici anche qui sono contraddistinti da diversi pittogrammi, forse a riprodurre una gerarchia anche sociale rigida, letterale e non funzionale.   


6 aprile 2011

Conto e racconto : i vantaggi della base decimale

Aspetti positivi del sistema a base 10 sono come si è già detto:

·        Il miglior adattamento alla memoria umana (rispetto ad es. alla base 60)

·        Una tavola di moltiplicazione facilmente memorizzabile

·        Migliore rappresentabilità grafica rispetto a basi più piccole (es. in un sistema binario 2452 sarebbe 100110010100)

Tuttavia queste ragioni non sarebbero sufficienti rispetto a basi vicine alla base 10, quali la base 11 e la base 12.

La base 12 ad es. preferita dal naturalista francese G. Buffon:

·        Ha più divisori e dunque calcolatori e commercianti sarebbero facilitati perché della base potrebbero utilizzare la metà, un terzo, un quarto ed un sesto.

·        L’anno avrebbe un numero di mesi uguale alla base.

·        Un giorno avrebbe un numero di ore doppio della base.

·        Un ora ed un minuto avrebbero rispettivamente un numero di minuti e di secondi quintupli della base.

·        La misura in gradi del cerchio sarebbe 30volte la base e così pure l’eclittica.

Molte ragioni per preferire la base 12 sarebbero cioè legate al fatto che molte misurazioni si effettuano ancora con base 12 o base 60 e fondamentalmente  sulla presenza di un maggior numero di divisori. Quest’ultimo aspetto ha un inconveniente nella presenza di un maggior numero di ridondanze (doppioni) frazionarie (es. nel sistema decimale 0,68 è lo stesso che 68/100, 34/50 e 17/25).

La base 11 invece ha una rappresentazione priva di queste ambiguità in quanto essendo un numero primo è divisibile solo per se stessa, per cui le frazioni sarebbero irriducibili ed avrebbero una sola rappresentazione simbolica possibile.

 

Per tutte queste ragioni però la base 10 sembra essere il giusto mezzo tra base 12 (troppi divisori) e base 11 (nessun divisore), oltre ad avere l’indubbio vantaggio di essere esemplificabile in maniera immediata dal numero delle dita delle mani con un forte vantaggio nell’apprendimento infantile. Per Boyer la formalizzazione linguistica e poi scritta di una base 10 già esistente e somaticamente ben riconoscibile, è stata decisiva per il trionfo della base 10. Se, cosa abbastanza improbabile, il linguaggio scritto avesse preceduto la costituzione della base si sarebbe potuto pensare ad una molteplicità di basi.     

Comunque storicamente la scelta della base 10 si è definita in maniera quasi ufficiale e politica con le decisioni prese dalla Convenzione di Parigi dopo la Rivoluzione francese che disciplinò anche i sistemi di misurazione almeno per ciò che riguarda l’Europa continentale.

 

Nelle popolazioni più primitive le diverse basi hanno distribuzioni diseguali ma qualche residuo arcaico rimane sempre: ad es. Eels nel 1913 fece una statistica tra centinaia di tribù del Nordamerica dove concluse che il 31% faceva uso di una base 10, il 31% di una base quinaria-decimale, il 27% di una arcaica base 2, il 10% di una base vigesimale e l’1% di una base 3.

 Del resto ci sono stati anche dei tentativi di usare basi non legate alla mano tipo la base 4 (anche se più probabilmente tale base è legata all’uso del pollice come cursore che conta le altre dita della mano) di cui vi è traccia nella parola indoeuropea per “8” che sarebbe solo la forma duale di “4”, ed anche nella relazione che si può instaurare tra il termine “novem” ed il termine “novum”, quasi che si fosse di fronte ad una nuova serie numerica su base ottonaria.

 


5 aprile 2011

Conto e racconto : la base 10

Ma la base che ha poi storicamente trionfato  è la base 10, un felice compromesso, né troppo grande (con l’inconveniente di troppi segni elementari) né troppo piccola (con l’inconveniente di complicate combinazioni di pochi segni). Inoltre tale base è ben radicata nella costituzione degli arti dell’essere umano (le 10 dita). Il sistema decimale è simmetrico, ed esteticamente gradevole, con una procedura di costituzione periodica dei numeri a tutti livelli praticamente identica ( in pratica non c’è bisogno di basi ausiliarie come nel caso della base 60).

 

 

La vasta diffusione della base 10 è forse legata alla discesa degli Indoeuropei ed all’esistenza di una sola lingua madre nel 2500-3000 a.C., giacché le affinità linguistiche del lessico numerico fanno pensare ad un’elaborazione precedente l’inizio della diffusione. Forse il sistema decimale si è costituito ad un’epoca in cui c’era ancora la comunicazione unicamente orale, per cui i simboli scritti sarebbero addirittura più recenti dei numerali.

       In certe regioni dell’Africa Occidentale già si può vedere l’utilizzo di una base 10: ad es. gli animali possono venir contati infilando conchiglie in una striscia bianca fino al numero di 10, con il quale si infila una prima conchiglia in una striscia blu che fa da supporto mnemonico esterno, si svuota la striscia bianca e la si riempie di nuovo fino sempre a 10 etc.; quando la striscia blu arriva poi a 10 conchiglie (10 decine), si svuota e si mette una prima conchiglia in una striscia rossa (centinaia) etc.

Anche in Cina troviamo un sistema decimale ben sviluppato:

1= yi   5= wu 9= jiu
2= er   6= liù 10= shi
3= san  7= qi
4= si 8= ba
11= shi-yi (10+1)  12= shi-er (10+2) 13= shi-san (10+3)
20= er-shi (2x10)    30= san-shi (3x10)  40= si-shi (4x10) 
100= bai   200= er-bai (2x100)    300= san-bai (3x100)
1000= qian   2000= er-qian (2x1000) 10000= wan

               

            

   

                    

 

 

53.781

Cinquantatremilasettecentottantuno                      33 lettere in italiano letterale

Wu-wan san-qian qi-bai bai-shi yi                     24 lettere in cinese

Cinquediecimilatremillesettecentoottodieciuno       45 lettere traducendo in italiano letterale

 

Dal precedente specchietto si vede che comunque il sistema cinese è meno rispettoso delle regole del sistema decimale in quanto ad es. 10000 che da noi è chiaramente dieci-mila, in esso è un termine coniato ex-novo (wan)

 


4 aprile 2011

Conto e racconto : le ragioni della base sessagesimale

Perché la base 60?

1.      Ipotesi di Neugebauer. Nei testi economici cuneiformi importanza primaria ebbe l’unità di peso ( lo shekel che era 1/60 del mana ) come l’assis latino che era 1/12 di oncia e poi divenne 1/12 di ora. A tale ipotesi si può obiettare che un sistema metrologico presuppone un sistema di numerazione e non il contrario.

2.       Ipotesi astronomica. Anno 360 giorni ( 12 mesi lunari x 30 giorni); zodiaco 6 costellazioni; sole in ogni costellazione 60 giorni; possibilità di dividere un cerchio in sei parti uguali di 60° ognuna e con la corda di una di esse (sestante) uguale al raggio del cerchio stesso. A tale ipotesi si può obiettare che la suddivisione del cerchio in 360° avvenuta solo negli ultimi secoli a.C., evidentemente dopo l’introduzione della base 60.

3.      60 rapporto tra l’ora sumera (2 h ) e il diametro apparente del sole espresso in unità di tempo pari ognuna a 2 mn.

4.      Ipotesi della natura mista della base 60. Questa sarebbe il frutto di una sintesi tra base 10 e base 6 e la prova sarebbe le modalità di costituzione dei numeri sumeri vista sopra (v. il ruolo del numero ‘6’). Ma questa tesi ha l’inconveniente di dover poi spiegare  l’origine altrettanto misteriosa di questa base 6.

5.      Ipotesi utilitaristica (Teone di Alessandria IV sec. d.C.).Base 60 ha tanti divisori compresi i primi 6 numeri interi di cui è il minimo comune multiplo oltre ad esserlo di 12 e 10. Tale sistema consente di rappresentare molte frazioni con interi (es. ½ sarebbe 30=60/2) Ma questo spiega meglio il successo della base 60 ma non tanto la sua origine. Anche se è ragionevole pensare al frutto di uno studio approfondito fatto da una classe sacerdotale specializzata come quella mesopotamica, visto che si sovrappose probabilmente ad un sistema decimale spontaneamente usato (e di cui vi è traccia come sistema ausiliare).

6.      Ipotesi di Ifrah. Base 60 sarebbe la sintesi tra la base 5 e la base 12 ( fondata sulla conta delle falangi di quattro dita), la base 12 computata su di una mano e quella 5 computata come multiplo del 12 sull’altra mano. Oppure il contrario (la base 5 computata su una mano e la base 12 come multiplo del 5 sull’altra mano): traccia linguistica di quest’usanza  sarebbe in latino il termine “digiti” per indicare le unità ed il termine “articuli” per indicare le decine. Dalla Mesopotamia questa tecnica si sarebbe diffusa ad Oriente (India). Questa è la tesi che per noi è preferibile.  


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