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10 giugno 2011

Conto e racconto : notazione ellenistica o notazione ebraica ?

Ebrei hanno influenzato Greci o viceversa?

Sarà il caso di precisare prima che l’antenato comune è sicuramente la scrittura ieratica egizia.

311-310 a.C. papiro greco di Elefantina.

286-246 a.C. monete di Tolomeo II Filadelfo

78 a.C. monete della dinastia asmonea in Israele.

Nel contempo alcuni hanno notato che numerosi brani dell’Antico Testamento indicano che i loro estensori erano versati nell’arte di cifrare le parole per mezzo dei valori numerici delle lettere ebraiche. A questo punto o l’utilizzo dei numeri con le lettere più antico risale all’ VIII-VI secolo a.C. o i testi biblici sono meno antichi di quanto si pensasse.

Comunque è indubitabile la comune ascendenza egizia.

 

La numerazione alfabetica greco-ebraica ebbe nel Mediterraneo orientale il ruolo che la numerazione latina ebbe nel Mediterraneo Occidentale.

Tale numerazione ha comportato un valore numerico per ogni parola o gruppo di parole.

Poi ha incoraggiato quella pratica poetica, mistica e religiosa che viene chiamata isopsefìa presso gli Gnostici greci e ghematrìa presso i Cabalisti ebraici.

Anche se il collegamento tra scrittura e notazione numerica è molto più antico:

bullet Presso i Sumeri molti dei erano collegati ad un numero (Anu al 60, Enlil al 50, Ea al 40, Sin al 30, Samas al 20, Ishtar al 15)
bullet Sargon il re assiro riteneva che 16.283 fosse il numero del suo nome (epigrafe del VII sec. a.C. a Khorsabad)
bullet Il compilatore di una tavoletta babilonese si firmava 21-35-35-26-44.
bullet In greco  Svetonio evidenzia l’equivalenza tra il nome Nerone e la frase “egli uccise la propria madre”
bullet 300 (Tau = Croce) + 18 (ΙΗ = prime lettere di Iesus) + 31 (anni di Cristo) + 16 (anno del regno di Tiberio coincidente con la Crocifissione) = 365 = Fine del mondo.
bullet 17 in cifre romane (XVII) anagrammato diventa VIXI (ho vissuto, vissi) e cioè “sono morto”
bullet 666 = Lateinos – Diocles Augustus – Qsar Neron – Luther(nuc) – Vicarius Filii Dei
bullet Un principe medievale con il nome che assommava a 284 cercava sposa il cui nome assommasse a 220 in quanto 284 e 220 sono numeri amichevoli cioè numeri i cui divisori sommati riproducono l’altro numero (divisori di 220 sommati 1+2+4+5+10+11+20+44+55+110= 284  mentre divisori di 284 sommati 1+2+4+ 71+142= 220)

 

Nel I sec. d.C. il poeta Leonida di Alessandria versifica distici ed epigrammi isopsefi (nel distico la somma dei valori del primo verso doveva essere uguale alla somma dei valori del secondo verso).

Tale parallelismo lettera/numero si ripercuote anche nelle somiglianze in diverse lingue tra termini quali “conta, contare” e termini come “racconto, raccontare”

Italiano               Contare            Raccontare

Tedesco            Zahlen              Erzahlen

Francese            Conter             Conter

Ebraico            Saphor             Saper

Cinese              Shu                  Xushu

 

 

Presso gli Arabi invece erano diffusi i cronogrammi per fare commemorazioni.

Es. Anno del distacco di Ahmed ibn Ali ibn Abdallah, eroe del Nord-Ovest marocchino dal potere alawita = 1335. 1335 diventa 94+331+90+761+59 e cioè “Maometto salva il mondo dalla miscredenza”.

 

Si sviluppa in tal modo la numerologia, metodo di interpretazione /previsione/speculazione magica.

Esempi:

 

Gli alfabeti cifrati furono anche conseguenza di questa pratica.

 

La numerazione alfabetica risolse in parte il problema delle cifre.

Ad es. 768 si poteva scrivere in 3 cifre piuttosto che in 21

 rimanendo fermi però ad un principio additivo che limitava le possibilità della numerazione scritta.

 


8 giugno 2011

Conto e racconto : la notazione numerica ebraica

Anche gli scribi israelitici ed i matematici greci si dotarono di notazioni numeriche equivalenti allo ieratico egizio, ma utilizzarono le lettere (in ordine consecutivo) dei rispettivi alfabeti.

 

L’alfabeto fu l’ultimo perfezionamento della scrittura adattabile ad ogni inflessione di ogni lingua articolata e dava la possibilità di scrivere tutte le parole con un piccolo numero di segni fonetici (lettere).

Esso fu opera dei Fenici, commercianti spinti da un bisogno comprensibile di concisione.

Il commercio diede diffusione al loro sistema:

sulle coste mediterranee (Greco, Latino, Etrusco)

a sud ( Moabiti, Ebrei, Nabatei )

a est ( Aramei, Siria, Persia, India)

 

Ci fu dunque  un tentativo di sovrapporre ordine alfabetico ed ordine numerico.

Ebrei usarono numerazione alfabetica

Per le date del calendario

Per i paragrafi dell’Antico Testamento

Per le pagine delle opere scritte

 

                      

Ebraico

352= beth+nun+sin (2+50+300)

C’era un tabù sui numeri 15 e 16

Infatti essi non erano raffigurati tramite yod+he (10+5) e yod+waw (10+6)

Questo perché yod+he+waw+he (JHWH) era il nome di Dio, che era pregno di energia e quindi tabù.

Per 15 e 16 si utilizzavano

Waw+teth (6+9)  e   zain+teth (7+9)

Questo fu uno dei primi esempi di operazione casuale non costituita sulle basi numeriche solite.

Per distinguere i numeri dalle lettere, si metteva sulla lettera che significava il numero un piccolo puntino o un apostrofo, oppure una linea su gruppi di lettere o un doppio apostrofo a sinistra della lettera (virgolette?)

Inoltre per i numeri da 400 in poi si combinava Tav (400) con centinaia già note.

Oppure

Si utilizzava, come faceva la Kabbalah, Kaf (20) Mem (40) Nun (50) Pe (80) Sade (90) con al termine un particolare modificato.

Per le migliaia si mettevano su ogni lettera due punti (x1000) fino a 999.999.

 


7 giugno 2011

Conto e racconto : la scrittura ieratica egizia

La scrittura geroglifica egizia attribuiva cifre specifiche ad 1, a 10 ed alle potenze di 10, e poi le ripeteva tante volte quanto era necessario.

1-10-100-1000-10.000-100.000-1.000.000 etc.

 

Gli egizi dunque avevano come punto di riferimento gli ordini numerici:

Simbolizzando gli ordini in diversi modi (girino, spirale etc.) essi non avevano bisogno dello zero ma dovevano ripetere i simboli dei vari ordini fino a 9 volte ciascuno.

Ad es. 9.999.999 (7 segni nella nostra notazione) esigeva fino a 63 grafismi

Nella moderna notazione numerica il riferimento invece sono le cifre da 0 a 9 e le posizioni.

 

Dunque il fare a meno dello “0” costringe ad utilizzare simboli diversi per le diverse potenze (ordini) o quanto meno a porsi il problema dello spazio vuoto, cioè di come denotare la vuotezza di un certo ordine, di un certo livello numerico (come ad es. nel numero 101).

Sull’abaco era possibile uno spazio vuoto;

nella scrittura invece è tutto più ambiguo (quanto deve essere largo uno spazio vuoto? Quanto è riproducibile in una sequenza senza fare confusione? Gli Antichi avevano forse i nostri quaderni  a quadretti o le barre spaziatrici di una tastiera?).

 

Per risparmiare tempo gli Egizi elaborarono la scrittura ieratica e cioè un sistema, comunque additivo, di segni stilizzati  al massimo con piccoli tocchi rapidi o una sola pennellata.

La stilizzazione comporta il fatto che i segni siano avulsi da ogni intuizione visiva diretta ed eseguibili senza staccare il pennello:

i particolari figurati sono meno numerosi

i contorni sono ridotti all’essenziale

la somiglianza con i prototipi sempre più vaga

la possibilità di morfismi sempre più alta

In questo modo si perde il rapporto con la rappresentazione

Tale notazione ieratica (con la numerazione decimale e le cifre per i numeri da 1 a 9 e per le potenze di 10) era già utilizzata nel papiro di Ahmes; inizialmente essa era la stilizzazione degli ordini numerici geroglifici più l’accorpamento sempre stilizzato delle molteplicità interne ad ogni ordine numerico.

Alla fine nel suo pieno sviluppo tale notazione contava

9 segni per unità semplici

9 segni per le decine

9 segni per le centinaia

9 segni per le migliaia

36 segni (difficili da ricordare)

invece dei 7-8 geroglifici

invece dei 10 segni nostri

Ma che consentivano di scrivere (in ordine inverso) 3577 con 4 cifre ( 7-70-500-3000) invece che in 22 come nel geroglifico ( 7x1-7x10-5x100-3x1000).

 


6 giugno 2011

Conto e racconto : tecnica per intaglio e numerazione latina

L’intaglio doveva affrontare il problema delle percepibilità diretta dei numeri fino a 4, per cui il 5 abbisognava di un altro simbolo. Il pastore ad es. era in difficoltà percettiva dopo la quarta tacca ed era costretto a ricontare astrattamente.

Modificando l’aspetto della tacca ogni potenza di 5 e di 10 con uno sguardo sulla serie di tacche comunque si tiene la situazione sotto controllo.

IIIIVIIIIXIIIIVIIIIX….

IIIIVIIIIXIIIIXVIIIIXXIIIIXXVIIIIXXXIIIIXXXVIIIIXXXX……

 

All’inizio trattino per essere differenziato viene inclinato IIII\

Oppure si aggiunge un altro trattino a quello già esistente con diversi orientamenti

V Λ <  >  Y ?  etc.

Dopo altri 4 segni, nuovo segno (spesso anche graficamente doppio del 5)

Dopo altri 4 segni altro V differente dal primo perché successivo al X

Al ripetersi 5volte di V e X ci vuole altro segno per 50 (es. L)

In questo modo con uno sguardo il pastore discerne insiemi di 50, 100 segni senza doverli contare ad uno ad uno.

tacche particolari usate come leve

Da ciò sistema decimale con 5 come base ausiliaria (come sistema latino).

Si può pensare anche a basi alternate 2 e 5.

 

 

 

Esempio:

1

5

10        2x5

50     2x5x5          

100   2x5x5x2      

500      2x5x5x2x5

1000      2x5x5x2x5x2

5000      2x5x5x2x5x2x5

Nella tecnica primitiva di computo per intaglio

39 manzi era così descritto:

IIIIVIIIIXIIIIVIIIIXIIIIVIIIIXIIIIVIIII

      5      10    15    20    25    30    35    39

 

Tale notazione cardinale era molto scomoda anche se non ci costringe a memorizzare, in quanto ci espone fortemente alla confusione percettiva.

Dunque si passò alla notazione ordinale in cui si passa da

I     II    III    IIII

a

IIII

Dove il numero è in sé una totalità che riassume in sé i momenti che l’ hanno costituita, ha in sé la memoria della sua autocostituzione.

 

Il fatto che la numerazione greco-latina sia derivata dalle tecniche della numerazione per intaglio è indirettamente provato dal fatto che popoli più primitivi dei Romani (Dalmati, Tirolesi, Germano-Scandinavi) sono pervenuti autonomamente ai principi della numerazione latina (es. principio sottrattivo era presente pure presso gli Etruschi) 

Indiani Zuni: 1= I (tacca)    5= V     10= X      Gli stessi segni!!!

 

Comunque forse il principio sottrattivo ha facilitato l’invenzione dell’algebra ed anche quello della cronometria ( le cinque meno un quarto…)

 

In latino computo/conto è ratio.

Ratio come logos vuol dire rapporto, comparazione come ad es. tra pecore e sassi.

Pensare è rationem  putare. Putare è fare una tacca, tagliare.

Rationem putare  è istituire un rapporto con una cosa facendo una tacca sul legno (analogia già ben nota tra la mente ed una lama).

 

Le notazioni numeriche romano-medievali invece erano complicate e compromettevano l’effetto originario (economia di simboli) del principio additivo.

Il sistema latino, ricorrendo a più principi, più basi, a più convenzioni perse di coesione e finì per precludersi molte possibilità operatorie, risultando essere alla fine una regressione.


30 maggio 2011

Conto e racconto : la numerazione per intaglio

L’intaglio doveva affrontare il problema delle percepibilità diretta dei numeri fino a 4, per cui il 5 abbisognava di un altro simbolo. Il pastore ad es. era in difficoltà percettiva dopo la quarta tacca ed era costretto a ricontare astrattamente.

Modificando l’aspetto della tacca ogni potenza di 5 e di 10 con uno sguardo sulla serie di tacche comunque si tiene la situazione sotto controllo.

IIIIVIIIIXIIIIVIIIIX….

IIIIVIIIIXIIIIXVIIIIXXIIIIXXVIIIIXXXIIIIXXXVIIIIXXXX……

 

All’inizio trattino per essere differenziato viene inclinato IIII\

Oppure si aggiunge un altro trattino a quello già esistente con diversi orientamenti

V Λ <  >  Y ?  etc.

Dopo altri 4 segni, nuovo segno (spesso anche graficamente doppio del 5)

Dopo altri 4 segni altro V differente dal primo perché successivo al X

Al ripetersi 5volte di V e X ci vuole altro segno per 50 (es. L)

In questo modo con uno sguardo il pastore discerne insiemi di 50, 100 segni senza doverli contare ad uno ad uno.

tacche particolari usate come leve

Da ciò sistema decimale con 5 come base ausiliaria (come sistema latino).

Si può pensare anche a basi alternate 2 e 5.

 

 

 

Esempio:

1

5

10        2x5

50     2x5x5          

100   2x5x5x2      

500      2x5x5x2x5

1000      2x5x5x2x5x2

5000      2x5x5x2x5x2x5


2 maggio 2011

Conto e racconto : divisioni babilonesi

La matematica in Mesopotamia era strumento di conoscenza e di potere (costruzione edifici, riscossioni imposte, calcolo interessi, computo del tempo e regolazione delle attività agricole). Essa non era oggetto di libera discussione, ma applicazione della regola, anche se i problemi matematici avevano didatticamente dei momenti ludici che fanno pensare ad un embrione di interesse teorico vero e proprio.

Nelle tavolette di Shuruppak del 2650 a.C. troviamo anche un’operazione complessa di divisione, molto complicata dato il tipo di sistema di notazione numerico usato, poco adatto alle operazioni sulle varie quantità numeriche.

Il problema trattato è pressappoco questo:

dato che ogni uomo ha una razione di sette dosi d’orzo, quanti uomini possono ricevere tale razione a partire da un ammontare di 1.152.000 dosi d’orzo?

Sull’altro lato delle tavolette c’è la soluzione ma non c’è una procedura algoritmica vera e propria che in quanto tale può solo essere inferita. Il procedimento utilizzava i gettoni a cui si è già accennato:

I solutori hanno utilizzato prima le sfere perforate ognuna delle quali valeva 36000 unità e le hanno sommate ordinandole in gruppi di sette ottenendo 4 colonne + 4sfere perforate (il resto).

Per ridurre le 4 sfere perforate sono state utilizzate le sfere semplici, ognuna delle quali valeva 3600 unità, che si sono sommate in gruppi di 7 ottenendo 5 colonne + 5 sfere semplici (resto).

Per ridurre le 5 sfere semplici rimaste si sono addizionati in gruppi di 7 i coni perforati (600 unità ognuno) con il risultato di 4 colonne + 2 coni perforati (resto).

Per ridurre i due coni perforati si addizionano in gruppi di 7 i coni semplici (60 unità ognuno) con il risultato di 2 file + 6 coni semplici (resto).

Per ridurre i 6 coni semplici si usano le biglie (10 unità) ottenendo 5 colonne + 1 biglia (resto)

Quest’ultima viene ridotta in 1 fila di piccoli coni + 3  piccoli coni (resto).

 

Il quoziente definitivo è (tanti pezzi quante sono le colonne):

 

 

4 sfere perforate (4x36000) = 144.000

5 sfere semplici (5x3600) =      18.000

4 coni perforati (4x600) =           2.400

2 coni semplici (2x60) =                120 

5 biglie (5x10) =                               50                                             

1 cono piccolo (1x1)    =                    1

resto 3 coni piccoli                   ___________

                                                 164.571

 

Nelle stesse tavolette di Shuruppak troviamo forse il primo esempio di metodo sottrattivo  

di notazione numerica dove il numero 2360 e scritto come “2400 meno 40”.

I momenti alti della matematica mesopotamica furono l’età sumerico-accadica (3000-2000 a.C.), il Primo Impero babilonese (1850-1600 a.C.) e il Secondo Impero babilonese (612 – 300 a.C.). Il periodo dal 1600 a.C. al 600 a.C. fu di decadenza, come pure lo fu per l’Egitto l’intero periodo degli Hyksos e il Medio Regno.

 


22 aprile 2011

Conto e racconto : termini matematici in sumero e accadico

In sumerico

L’addizione è GAR.GAR (metti-metti : continuare a mettere)

La moltiplicazione è TAB (raddoppio di unità II )

Il segno cuneiforme è SAG.DU o SAG.TAG (tacca a forma di fronte) ? (accadico santakku)

Il trapezio è SAG.KI.GU (fronte di bue)

La curva è GAM (curvarsi, inginocchiarsi, sottomettersi, morire)    ) k

La circonferenza e KA.KES (legare, dunque mettere insieme e racchiudere in un contenitore)

L’area è A.SA (campo)

La base di un solido è KI (terra,luogo)

L’altezza è SUKUD

La larghezza è DAGAL (vastità)

Il cateto è US

Il prodotto della moltiplicazione è A.RU

La perpendicolare è WRD (discendere)

Il lato del quadrato è IB.SA (eguagliare)

La diagonale o l’ipotenusa del triangolo rettangolo è BAR.TA o BAR.NUN

 

In accadico

L’addizione è kamaru (ammucchiare) da cui kimirtu (somma) opp. wasabu (aggiungere) da cui sibtu (aggiunta, interesse).

La sottrazione è harasu (recidere, ridurre)

La moltiplicazione è esepu (ripetere,raddoppiare) opp. wabalu/nasu (portare…ad un dato valore numerico?) oppure alaku (andare) oppure akalu (mangiare) nella sua forma causativa (far mangiare) . Essa presuppone il tempo, il movimento, che trascina con sé, che divora i suoi figli.

La divisione è  zazu (dividere in varie parti),da cui zittu (quota di eredità), oppure hepu (distruggere,frantumare)

Il numero reciproco è igu dal sumero IGI (occhio; forse perché l’occhio, lo sguardo sono il corrispettivo della realtà?). Da igu derivano igigubbu (coefficiente) e igitennu (frazione)

La radice quadrata o cubica è basu

Il diametro è tallu (linea divisoria)

Il cerchio (o l’arco di cerchio) è kippatu (da curvare,piegare)

Arco di cerchio è pure askaru (luna crescente)

Disegnare una figura è nadu ( forse dal sumero NA.DU, che significa più o meno “porre le fondamenta di un tempio”, cosa che ribadirebbe il rapporto tra geometria e architettura sacra)

La perpendicolare è warittu, l’altezza è melu, la larghezza è rupsu

L’altezza del triangolo è siddu (da sdd “tirare” da cui “lato”,”bordo”)

 


23 luglio 2008

Adam Smith e la natura del prezzo reale

 

Il prezzo reale di ogni cosa, ciò che ogni cosa realmente costa all’uomo che vuole procurarsela, è la fatica e l’incomodo di ottenerla. Ciò che ogni cosa realmente vale per l’uomo che l’ha acquisita e che vuole disporne o cambiarla con qualcos’altro, è la fatica e l’incomodo che può risparmiargli e imporre agli altri. Ciò che viene acquistato con la moneta o con i beni è acquistato con il lavoro, alla stessa stregua di ciò che acquistiamo con la nostra stessa fatica fisica.



 

Qui il discorso si fa più confuso: che intende Smith per “la fatica e l’incomodo di ottenerla” ? Intende la fatica che fa per produrla o per produrre i prodotti che con essa sono scambiabili ? Si potrebbe dire che se questi prodotti sono equivalenti, la cosa sarebbe la stessa. Ma ciò da per assodato quel che va spiegato : l’equivalenza nello scambio è il prodotto di che cosa ? Dell’equivalenza del lavoro incorporato (allora la teoria del valore/lavoro di Smith presuppone quella di Marx) o è la risultante non del tutto logica di un intreccio vischioso di desideri, bisogni, memoria del lavoro prestato etc che viene ricoperto e glassato dal formalismo dei neoclassici ?

Smith non sembra accorgersi di questa ambiguità. Egli dice “Ciò che viene acquistato con la moneta o con i beni è acquistato con il lavoro, alla stessa stregua di ciò che acquistiamo con la nostra stessa fatica fisica”. Ma non è immediatamente così. La fatica di produrre un bene A non è immediatamente la fatica che serve per produrre il bene B scambiabile con il bene A.


21 luglio 2008

Adam Smith e un'altra teoria del valore lavoro

Ogni uomo è ricco o povero nella misura in cui è in grado di concedersi i mezzi di sussistenza e di comodo ed i piaceri della vita.
Ma una volta affermatasi la divisione del lavoro, con il proprio lavoro si può ottenere solo una parte piccolissima di questi. La parte di gran lunga maggiore deve essere tratta dal lavoro degli altri e quindi uno è ricco o povero secondo la quantità di lavoro di cui può disporre o che è in grado di acquistare. Il valore di ogni merce, per la persona che la possiede e che non intende usarla o consumarla personalmente ma scambiarla con altre merci, è dunque uguale alla quantità di lavoro che le consente di acquistare o avere a disposizione. Il lavoro è quindi la misura reale del valore di scambio di tutte le merci.



Questo passo è molto interessante e vanno fatte a tal proposito molte osservazioni :
La prima è che chi è in grado di procurarsi i mezzi di sussistenza e di comodo e i piaceri della vita non è ricco ma è capace o quanto meno potente.
Ricco è chi con la divisione del lavoro ha accumulato un gran quantitativo di beni durevoli da lui prodotti o di beni scambiabili (se non addirittura di beni-moneta) e può disporre di una grande quantità di lavoro altrui. Quindi la definizione di "ricco" presuppone quanto meno la divisione del lavoro se non un abbozzo di economia monetaria.
La seconda considerazione è che qui viene delineata una teoria del valore lavoro diversa da quella marxiana. Il valore di una merce non corrisponde al lavoro necessario per produrla in quanto merce, ma al lavoro che il possesso di tale merce può comandare verso chi volesse acquistarla

(naturalmente è possibile che nei fatti tali definizioni diverse diventino equivalenti per effetto di un gran numero di scambi).

Essa dunque è legata sia al grado di utilità attesa per una sola persona, al numero di persone per le quali ha un certo grado di utilità attesa, alla scarsità (e di riflesso al lavoro necessario per produrla in quanto merce). Naturalmente se tale concetto di valore/lavoro è più comprensivo, al tempo stesso è più vago. Comunque è molto interessante e andrebbe sviluppato.


18 luglio 2008

I prezzi reali secondo Adam Smith

 

Smith si pone poi le seguenti domande :

Qual è la misura reale del valore di scambio ? Ossia in cosa consiste il prezzo reale di tutte le merci? Quali sono le differenti parti di cui è composto e formato questo prezzo reale ?

Quali sono le differenti circostanze che talvolta fanno salire alcune o tutte queste differenti parti del prezzo al di sopra del loro livello naturale o ordinario ? Ossia quali sono le cause che talvolta impediscono che il prezzo di mercato ed effettivo delle merci coincida esattamente con quello che può essere definito il loro prezzo naturale ?

 

 

 

Su questi problemi che si pone Smith si potrebbero porre altre domande : deve esistere una misura reale del valore di scambio ? Il valore di scambio è lo stesso che il prezzo ? Esiste un prezzo reale ?

Esiste un prezzo naturale ?

E si possono fare alcune ipotesi di definizione (trattasi di ipotesi molto provvisorie) :

1) Il valore di scambio è un valore sempre variabile del rapporto tra il lavoro incorporato tra diversi beni.

2) Il valore monetario è il rapporto sempre variabile tra il lavoro incorporato in un bene e quello di un bene preso come riferimento.

3) Il prezzo è il rapporto tra il valore monetario di scambio (o meglio tra il lavoro incorporato in un bene espresso in moneta) e la domanda di questo stesso bene.


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