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2 maggio 2011

Conto e racconto : divisioni babilonesi

La matematica in Mesopotamia era strumento di conoscenza e di potere (costruzione edifici, riscossioni imposte, calcolo interessi, computo del tempo e regolazione delle attività agricole). Essa non era oggetto di libera discussione, ma applicazione della regola, anche se i problemi matematici avevano didatticamente dei momenti ludici che fanno pensare ad un embrione di interesse teorico vero e proprio.

Nelle tavolette di Shuruppak del 2650 a.C. troviamo anche un’operazione complessa di divisione, molto complicata dato il tipo di sistema di notazione numerico usato, poco adatto alle operazioni sulle varie quantità numeriche.

Il problema trattato è pressappoco questo:

dato che ogni uomo ha una razione di sette dosi d’orzo, quanti uomini possono ricevere tale razione a partire da un ammontare di 1.152.000 dosi d’orzo?

Sull’altro lato delle tavolette c’è la soluzione ma non c’è una procedura algoritmica vera e propria che in quanto tale può solo essere inferita. Il procedimento utilizzava i gettoni a cui si è già accennato:

I solutori hanno utilizzato prima le sfere perforate ognuna delle quali valeva 36000 unità e le hanno sommate ordinandole in gruppi di sette ottenendo 4 colonne + 4sfere perforate (il resto).

Per ridurre le 4 sfere perforate sono state utilizzate le sfere semplici, ognuna delle quali valeva 3600 unità, che si sono sommate in gruppi di 7 ottenendo 5 colonne + 5 sfere semplici (resto).

Per ridurre le 5 sfere semplici rimaste si sono addizionati in gruppi di 7 i coni perforati (600 unità ognuno) con il risultato di 4 colonne + 2 coni perforati (resto).

Per ridurre i due coni perforati si addizionano in gruppi di 7 i coni semplici (60 unità ognuno) con il risultato di 2 file + 6 coni semplici (resto).

Per ridurre i 6 coni semplici si usano le biglie (10 unità) ottenendo 5 colonne + 1 biglia (resto)

Quest’ultima viene ridotta in 1 fila di piccoli coni + 3  piccoli coni (resto).

 

Il quoziente definitivo è (tanti pezzi quante sono le colonne):

 

 

4 sfere perforate (4x36000) = 144.000

5 sfere semplici (5x3600) =      18.000

4 coni perforati (4x600) =           2.400

2 coni semplici (2x60) =                120 

5 biglie (5x10) =                               50                                             

1 cono piccolo (1x1)    =                    1

resto 3 coni piccoli                   ___________

                                                 164.571

 

Nelle stesse tavolette di Shuruppak troviamo forse il primo esempio di metodo sottrattivo  

di notazione numerica dove il numero 2360 e scritto come “2400 meno 40”.

I momenti alti della matematica mesopotamica furono l’età sumerico-accadica (3000-2000 a.C.), il Primo Impero babilonese (1850-1600 a.C.) e il Secondo Impero babilonese (612 – 300 a.C.). Il periodo dal 1600 a.C. al 600 a.C. fu di decadenza, come pure lo fu per l’Egitto l’intero periodo degli Hyksos e il Medio Regno.

 


22 aprile 2011

Conto e racconto : termini matematici in sumero e accadico

In sumerico

L’addizione è GAR.GAR (metti-metti : continuare a mettere)

La moltiplicazione è TAB (raddoppio di unità II )

Il segno cuneiforme è SAG.DU o SAG.TAG (tacca a forma di fronte) ? (accadico santakku)

Il trapezio è SAG.KI.GU (fronte di bue)

La curva è GAM (curvarsi, inginocchiarsi, sottomettersi, morire)    ) k

La circonferenza e KA.KES (legare, dunque mettere insieme e racchiudere in un contenitore)

L’area è A.SA (campo)

La base di un solido è KI (terra,luogo)

L’altezza è SUKUD

La larghezza è DAGAL (vastità)

Il cateto è US

Il prodotto della moltiplicazione è A.RU

La perpendicolare è WRD (discendere)

Il lato del quadrato è IB.SA (eguagliare)

La diagonale o l’ipotenusa del triangolo rettangolo è BAR.TA o BAR.NUN

 

In accadico

L’addizione è kamaru (ammucchiare) da cui kimirtu (somma) opp. wasabu (aggiungere) da cui sibtu (aggiunta, interesse).

La sottrazione è harasu (recidere, ridurre)

La moltiplicazione è esepu (ripetere,raddoppiare) opp. wabalu/nasu (portare…ad un dato valore numerico?) oppure alaku (andare) oppure akalu (mangiare) nella sua forma causativa (far mangiare) . Essa presuppone il tempo, il movimento, che trascina con sé, che divora i suoi figli.

La divisione è  zazu (dividere in varie parti),da cui zittu (quota di eredità), oppure hepu (distruggere,frantumare)

Il numero reciproco è igu dal sumero IGI (occhio; forse perché l’occhio, lo sguardo sono il corrispettivo della realtà?). Da igu derivano igigubbu (coefficiente) e igitennu (frazione)

La radice quadrata o cubica è basu

Il diametro è tallu (linea divisoria)

Il cerchio (o l’arco di cerchio) è kippatu (da curvare,piegare)

Arco di cerchio è pure askaru (luna crescente)

Disegnare una figura è nadu ( forse dal sumero NA.DU, che significa più o meno “porre le fondamenta di un tempio”, cosa che ribadirebbe il rapporto tra geometria e architettura sacra)

La perpendicolare è warittu, l’altezza è melu, la larghezza è rupsu

L’altezza del triangolo è siddu (da sdd “tirare” da cui “lato”,”bordo”)

 


12 luglio 2010

Matematica e realtà in Schlick

Il rapporto della logica con la realtà

 

Schlick poi passa ad esaminare i giudizi che non solo valgono per la realtà, ma enunciano anche una conoscenza di realtà : da cosa sappiamo ad es. che le leggi della meccanica celeste valgono universalmente nello spazio e nel tempo ? Possono esserci giudizi sintetici validi ?

Schlick dice che con Kant si chiamano sintetici quei giudizi che di un oggetto asseriscono qualcosa che non è contenuto nel concetto dell’oggetto. In essi la relazione tra soggetto e predicato non è data da una definizione, ma è istituita da una conoscenza. Se dunque vogliamo decidere la questione circa la validità di tali giudizi, possiamo farlo solo sulla base di ciò che siamo arrivati a comprendere circa l’essenza dell’atto conoscitivo.

Schlick aggiunge che reali sono i  nostri vissuti e ciò che con essi si connette secondo regole determinate. Conoscere la realtà significa ritrovare un oggetto reale in un altro e si riduce ad un ri-conoscere, un identificare contenuti di coscienza intuitivi o non-intuitivi. Questo atto del confrontare, per via della fugacità di tutti i vissuti, è sempre caratterizzato da incertezza. E il solo modo per produrre concetti del tutto esatti consiste nello svincolarli dal mondo reale. Ciò avviene per mezzo della definizione implicita che definisce concetti solo attraverso concetti e non mediante riferimento al reale.

 

 

Kant e la validità della scienza

 

Schlick poi si chiede se ci sia la possibilità di gettare un ponte tra la realtà ed i concetti rigorosi della logica e della matematica, soprattutto tenendo conto che ogni giudizio empirico “A è B” è una proposizione valida solo nel momento dell’osservazione.

In ogni istante della nostra vita si devono presupporre come veri innumerevoli giudizi per poter agire ed esistere. Tali giudizi sono davvero al di sopra di ogni dubbio ? Schlick risponde che no, un giudizio sintetico non può mai essere apoditticamente certo e non si può mai tornare al razionalismo estremo, ma solo a quello di tipo kantiano.

Per Kant, se la conoscenza deve conformarsi alla realtà, è impossibile che sia assolutamente valida. Perciò le mie verità sono universalmente valide solo se è la realtà che si conforma in qualche modo alla mia conoscenza : questa è l’unica via possibile per salvare una conoscenza di realtà che voglia essere universalmente valida. Per Kant essa non è solo una possibilità, ma una via effettivamente esistente per cui le leggi a cui gli oggetti di esperienza obbediscono sono al tempo stesso le leggi secondo cui l’esperienza stessa ha luogo quale processo di conoscenza : poiché  qualcosa mi viene dato nell’esperienza, proprio per questo è sottoposto alle leggi dell’esperienza e l’esperienza non è mera percezione, ma è uso efficace della percezione.

Per Schlick, Kant respinge i tentativi di giustificazione empirica dei massimi principi della scienza, perché altrimenti non si spiegherebbe la validità universale di quei principi. Giustamente, per Schlick, Kant presuppone la scienza e cerca di spiegarla, mentre Hume metteva in dubbio la scienza.

 

 

La geometria scienza dello spazio ?

 

Schlick poi, prima di affrontare l’ipotesi della possibilità di conoscenze sintetiche apriori, riassume la sua idea della matematica, la cui esattezza presuppone che essa sia scienza di meri concetti (e dunque analitica) definendo tali concetti attraverso definizioni implicite, unico metodo per garantire il rigore delle proposizioni.

Schlick si chiede però, se attribuendo ai concetti un contenuto intuitivo, la geometria come scienza dello spazio rimarrebbe una scienza apriori. Infatti in tal caso “retta”, “piano” non sarebbero solo determinate attraverso definizioni implicite, ma si riferirebbero a configurazioni spaziali vere e proprie. In tal modo le configurazioni spaziali sarebbero tra loro in quelle relazioni che, attraverso le definizioni implicite, sono stabilite per i concetti di base geometrici. Quelle definizioni allora non sarebbero più tali, ma sarebbero proposizioni sintetiche e sarebbero assiomi che tratterebbero di grandezze intuitive (e non di concetti). Tuttavia, obietta Schlick, i singoli teoremi della geometria seguirebbero analiticamente dagli assiomi giacché, al contrario di quanto dice Kant, le dimostrazioni non hanno più bisogno dell’intuizione, ma possono essere condotte mediante deduzione puramente logica. E tuttavia anche i teoremi, essendo gli assiomi sintetici apriori, sarebbero (come gli assiomi) conoscenza sintetica apriori.

Schlick dice che per molti secoli si è pensato che la geometria euclidea fosse la geometria dello spazio, ma la geometria non euclidea ha smentito tale tesi, anche se i neokantiani dicono che sono pensabili geometrie altre da quella euclidea, ma solo quest’ultima sarebbe intuitivamente rappresentabile, per cui gli oggetti fisici dovrebbero necessariamente apparirci nello spazio euclideo.

Inoltre i kantiani sembrano aver buon gioco per il fatto che (come dice Poincarè) l’esperienza sensibile non può provare che una determinata geometria è la sola valida nello spazio empirico, in quanto i fatti di esperienza possono essere portati in accordo con qualsiasi geometria si voglia, solo che al tempo stesso si enuncino le leggi di natura in una formulazione appropriata. Schlick aggiunge che una seconda retta parallela alla data, che costituisca con la prima un angolo di un milionesimo di grado, non sarebbe percepibile come falsa parallela e dunque la natura della geometria fisicamente valida non è empiricamente decidibile.

I kantiani però (obietta Schlick) ritengono che, se le intuizioni empiriche sono inesatte, c’è comunque un’intuizione pura molto più sicura. Schlick fa osservare che molte interrelazioni ascrivibili all’intuizione pura si rivelano però false. E questo è fatale per l’intuizione pura, perché una forma necessaria dell’intuire non può essere fallace.

Schlick dice pure che chi fa affidamento sull’intuizione deve sicuramente giudicare che, ad una curva perfettamente continua, si può sempre tracciare una tangente. Ma questo è un errore, perché Weierstrass ha specificato l’equazione di una curva perfettamente continua che in nessun punto possiede una tangente, perché l’equazione non è differenziabile in nessun punto : dunque in questo caso l’intuizione ci pianta in asso.

 

Spazio geometrico e spazi intuitivi

 

Schlick poi dice che la validità delle proposizioni geometriche non può essere fondata su di una intuizione pura semplicemente perché lo spazio della geometria non è affatto intuitivo in quanto non vi è un solo spazio intuitivo ma ve ne sono molti, tanti quanti sono i sensi spaziali posseduti : dunque vi è uno spazio ottico se non due (essendoci due occhi nell’uomo), uno spazio tattile, uno spazio delle sensazioni motorie. Tutti questi spazi sono tra loro radicalmente diversi. Lo spazio del geometra è invece uno solo e non è identico a nessuno degli spazi intuitivi. Esso è una costruzione concettuale che si forma con i dati spaziali dei singoli sensi e con l’ausilio del metodo delle coincidenze che coordina univocamente i singoli elementi degli spazi soggettivi. Questo a sua volta conduce alla formazione del concetti di “punto” nello spazio oggettivo.

Kant, continua Schlick, contrappone allo spazio intuitivo l’ordinamento non noto delle cose in sé. Invece noi abbiamo esperienza di diversi spazi intuitivi e ad essi contrapponiamo l’ordinamento dei corpi fisici che è appunto lo spazio geometrico. Negli spazi intuitivi gli assiomi geometrici non valgono : lo spazio della vista è uno spazio riemanniano, mentre lo spazio delle sensazioni tattili e muscolari forse non è euclideo. Perciò, conclude Schlick, la geometria non mantiene la sua validità quando ai suoi concetti si attribuisce un senso intuitivo. Alla nostra intuizione di spazio non sono peculiari determinati assiomi geometrici. Noi non possediamo alcuna intuizione dello spazio geometrico : questo è una configurazione concettuale che si costruisce così che possiamo, con il suo ausilio, formulare le leggi di natura nella forma più semplice possibile.

Questa costruzione e scelta degli assiomi non è che abbia luogo solo ad un certo stadio di sviluppo della fisica, perché già le esperienze della vita quotidiana sono riccamente permeate di una conoscenza di legalità di natura ed anche il concetto di “corpo” non potrebbe venire in essere senza certi concetti geometrici. Il punto di vista indicato guida l’uomo inconsciamente cosicché c’è bisogno di acute indagini per arrivare a conoscere che siamo guidati da un tale punto di vista.

La geometria euclidea, che era quella della vita quotidiana, sembrava dovesse fare da base per tutti gli scopi della scienza della natura. Ma la relatività einsteiniana pensa che la più esatta descrizione della natura implichi una geometria diversa dipendente dal potenziale di gravitazione del luogo preso in esame.

Schlick ribadisce poi che la descrizione fisicale della natura non è vincolata ad una particolare geometria : la scelta degli assiomi geometrici è a nostra descrizione ed in genere scegliamo gli assiomi che conducono a leggi fisiche di massima semplicità. Gli assiomi insomma sono definizioni e la geometria, sia come scienza di concetti che come scienza dello spazio, non procede da proposizioni sintetiche a priori ma da convenzioni, da definizioni implicite.

All’interno di queste definizioni la geometria ha carattere analitico. Ma le nostre asserzioni sui rapporti spaziali reali non appartengono alle geometria pura, ma alla sua applicazione a materiale empirico. Dunque hanno carattere sintetico a posteriori e solo l’esperienza decide della loro validità. Lo spazio geometrico è un espediente concettuale per designare l’ordinamento del reale : non c’è intuizione pura di tale spazio, né su di esso vi sono proposizioni sintetiche a priori.

 

 

La questione dell’aritmetica

 

Schlick poi sposta la sua attenzione sull’aritmetica : troviamo forse tra le proposizioni dell’aritmetica quei giudizi sintetici a priori che si sono cercati invano nella geometria ?

Kant ha erroneamente pensato che l’intuizione di tempo potesse svolgere per l’aritmetica un ruolo analogo a quello dell’intuizione di spazio per la geometria. Schlick obietta che il tempo è richiesto certo per il contare, ma la relazione è psicologica non epistemologica, poiché tutti gli altri atti psichici si compiono nel tempo. Anche la scrittura dei numeri è psicologicamente ma non epistemologicamente collegata allo spazio.

La dimostrazione del carattere analitico-deduttivo della geometria pura, ossia la dimostrazione della derivabilità di tutte le sue proposizioni da definizioni implicite fu fornita da Hilbert dietro il presupposto che l’aritmetica rappresentasse un insieme di verità esente da contraddizioni e consistente solo di giudizi analitici su concetti definiti implicitamente.

Che tutte le proposizioni aritmetiche si lasciassero derivare da un piccolo numero di assiomi non era da mettere in dubbio. Ma che questi assiomi possano essere concepiti come definizioni implicite dei concetti aritmetici fondamentali (in particolare i numeri) è dimostrato solo una volta che sia  mostrata l’incontraddittorietà di tali assiomi, in quanto giudizi che si contraddicono non definiscono nulla. Hilbert con Bernays è riuscito in geniali lavori a realizzare nell’essenziale questa dimostrazione e con ciò la natura analitica dei giudizi aritmetici è assicurata, giacché la loro validità non si basa sull’intuizione,. Quest’ultima  non è base della validità, ma mezzo per la comprensione dei giudizi aritmetici, per cui essi non hanno una funzione epistemologica, ma solo psicologica.

 

 

 

 

 Kant, la matematica e le scienze 

Schlick dice poi che, parlando di geometria, si deve distinguere tra pura scienza di concetti e scienza dello spazio. Tale duplicità non sembra sussistere nel caso dell’aritmetica, anche se potrebbe sembrare che il concetto hilbertiano (formalistico) di numero, consistente nel soddisfare certi assiomi,  sia analogo alla geometria pura, mentre il concetto russelliano (contenutistico) di numero inteso come classe di classi sarebbe analogo a quello della scienza dello spazio. In realtà obietta Schlick il numero hilbertiano è lo stesso che quello russelliano.

Egli dice poi che non vi sono molti altri giudizi il cui fondamento sarebbe un’intuizione  pura di tempo e quei pochi hanno più un ambito psicologistico che non logico. Il tempo psicologico non è quello matematico e quest’ultimo è una costruzione concettuale che, come lo spazio astratto, permette una formulazione semplificata delle leggi di natura. La Relatività pure ha contribuito a tale versione più astratta del tempo, versione che permette di pensare ad un tempo che non scorre uniforme e a differenti misure di tempo, a secondo dello stato di moto del sistema a cui viene riferita la descrizione dei processi di natura.

Dunque, Schlick conclude che spazio e tempo non sono forme a priori dell’intuizione, nel senso che renderebbero possibili dei giudizi sintetici universalmente validi. I fondamentali giudizi spaziali e temporali delle scienze esatte non hanno carattere sintetico a priori, né c’è la possibilità di una conoscenza di realtà apoditticamente valida.

 

 

 

 

 

Scienze di concetti e sintetico a priori

C’è un’ambiguità in chi sostiene il carattere non sintetico delle conoscenze logico matematiche : c’è chi dice che si tratta di una conoscenza che non riguarda il reale, c’è chi dice invece che non si tratta affatto di un incremento di conoscenze (giocando magari su di una distinzione fasulla tra conoscenza ed incremento di conoscenza)Inoltre la concezione della conoscenza come ri-conoscimento è troppo generica e vaga e si presta a malintesi. In secondo luogo non è che i concetti legati alla realtà siano inesatti : essi in sé sono esatti come i concetti slegati dalla realtà. È il criterio di validità ad essere diverso : per i concetti slegati dalla realtà basta la coerenza sintattica, per i concetti empirici invece è il rapporto problematico con un flusso d’esperienza che va per conto proprio.

Quanto al tentativo di Kant egli ci fornisce una teoria possibile che garantisca una conoscenza universalmente valida, ma non ci garantisce una conoscenza universalmente valida. Essa teoria dunque non si differenzia da una qualsiasi teoria metafisica. Dunque il criticismo kantiano presuppone un’altra forma di dogmatismo. Kant presuppone i principi a priori ma non li dimostra e la sua definizione di esperienza presuppone questi principi cosicché l’esperienza non potrà mai sconfessare i principi stessi.

Infine le leggi degli oggetti d’esperienza non equivalgono alle leggi dell’esperienza stessa : nel naturalismo la fisiologia della conoscenza non ricapitola la cosmologia.

Quanto alla natura di scienza dello spazio della geometria Schlick fa confusione perché pensa che, se gli assiomi sono sintetici ed i teoremi seguano analiticamente dagli assiomi (e siano logicamente equivalenti ad essi), anche i teoremi siano sintetici. Ma i teoremi sono L-equivalenti agli assiomi, ma proprio per questo epistemologicamente differenti da essi (in quanto analitici).

Inoltre non si può ridurre lo spazio geometrico ad ausilio per la fisica e le scienze naturali : la geometria è una disciplina autonoma. Ci si deve domandare anche se la conoscenza inconscia della legalità di natura rimanga sempre una conoscenza e se, essendo inconscia, non sia in un certo senso un apriori per quanto problematico e storicizzato.

Ancora, come l’applicazione della geometria può essere sottoposta a verifica empirica se si può valutare solo la semplicità delle leggi fisiche a cui una scelta di assiomi può condurre ? Schlick qui si contraddice perché da un lato parla di convenzionalismo (non solo della geometria pura, ma anche di quella applicata) e dall’altro di verifica empirica. Infine se esiste una geometria pura, lo spazio geometrico non è solo un espediente concettuale per designare l’ordinamento del reale.

Ci dobbiamo chiedere anche se la non contraddittorietà degli assiomi tra loro non valga anche a prescindere dal fatto se gli assiomi siano concepibili come definizioni implicite.

Inoltre la prova di Godel rimette in corsa la concezione della matematica come sintesi apriori kantiana (come crede Odifreddi) ? E se fosse così come s’introdurrebbe in tale discorso neokantiano una nozione come l’intuizione pura ?

Perché poi un mezzo per la comprensione non è immediatamente una base di validità ? L’apprendimento di una nozione non passa per la rappresentazione di cosa succederebbe se esso fosse, in un qualsiasi senso, vera ?

Ancora, per quanto riguarda il rapporto tra dimensione numerica e dimensione temporale, notiamo che per Bergson la separazione tra tempo soggettivo e tempo oggettivo è una sorta di dramma filosofico. Perché per Schlick no ? A nostro parere il concetto di ordine asimmetrico collega tra di loro i concetti di numero, spazio e tempo : il numero non si riduce a spazio e tempo e tuttavia tra di essi c’è un legame non del tutto contingente.

Da che deduce Schlick infine che il numero secondo Hilbert equivalga al numero secondo Russell ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


29 marzo 2010

La logica in Schlick

 

Qualche premessa

 

Per Schlick la scienza non è semplice collezione di conoscenze, ma un nesso organico e razionale tra conoscenze (quello che i greci chiamavano logos). Quando di due termini riduciamo l’uno all’altro, dobbiamo ritrovare un terzo termine che è il nesso tra i primi due : il sillogismo è appunto un terzo giudizio generato dalla connessione dei primi due.

Schlick poi distingue tra presupposti genetici (la via spesso casuale attraverso cui gli uomini stabiliscono i singoli giudizi) e presupposti valicativi (le dipendenze sussistenti tra i giudizi nel sistema compiuto delle verità). Egli, partendo dal presupposto che la negazione è solo un segno psicologico dell’imperfezione del nostro pensiero, elimina dai 19 sillogismi base (distribuiti in quattro figure) i 12 sillogismi contenenti giudizi negativi affermando che ce ne sono solo sette.

Schlick considera di rilevanza provvisoria dal punto di vista scientifico anche i giudizi particolari : infatti essi lasciano indeterminata quale parte di un intero insieme di oggetti viene intesa come sussulta da un concetto (inoltre, aggiungiamo noi, essi implicano l’esistenza di giudizi negativi del tipo “Alcuni non …”).

Un giudizio particolare scientificamente rilevante lo possiamo stabilire solo quando effettivamente conosciamo degli S che sono P. Un giudizio particolare per Schlick è solo un’abbreviazione imperfetta per il giudizio “S1, S2… sono P” : la traduzione di “Alcuni S sono P” in “x, y e z sono P” è la trasformazione dei giudizi particolari in giudizi universali.

Schlick poi dei sette sillogismi rimasti toglie quei sei dove c’è un giudizio particolare : rimane a questo punto solo il sillogismo “Barbara”e cioè ([tutti gli M sono P] Ù [tutti gli S sono M]) ® (tutti gli S sono P), dove tutti i giudizi sono universali. L’essenza di questa inferenza è per Schlick la sussunzione di un caso specifico sotto una proposizione generale.

Schlick aggiunge che il dictum de omni è una definizione del concetto di classe. Le dimostrazioni matematiche sono sillogismi del tipo “Barbara” in forma abbreviata con le premesse minori non esplicitate. Ad es. 1) Ogni triangolo rettangolo è così-e-così  2) ABC è un triangolo rettangolo 3) ABC è così-e-così.

In questo caso la correttezza della premessa minore è data da una definizione (o in geometria da una costruzione geometrica).

 

 

Sigwart e la geometria

 

Schlick poi passa alla discussione di alcune tesi di Sigwart per il quale :

  • Le inferenze geometriche solo apparentemente sono sillogismi
  • La geometria non ha solo a che fare con il rapporto di sussunzione tra concetti, ma deriva le sue proposizioni con l’ausilio di relazioni legiformi non contenute nelle definizioni ma radicate altrove

Schlick obietta che, nel moderno sistema rigoroso della geometria (Hilbert) sono usate solo le relazioni contenute nelle definizioni e dunque tutte le leggi di relazioni sono presentabili come rapporti di subordinazione tra concetti. E aggiunge che ogni concetto logico è un punto nodale di relazione. Questo che vale per la geometria vale anche per aritmetica ed algebra. Lo stesso calcolo è un’inferenza fatta sulla base di teoremi generali : i massimi principi costituenti assiomi o definizioni validi per tutti i numeri sono applicati di volta in volta a numeri specifici e le proposizioni così ottenute vengono poi a loro volta applicate ad altre espressioni numeriche. Anche le espressioni aritmetiche rientrano in questo schema, in quanto sono nient’altro che segni più complicati per indicare un numero. Per Schlick lo schema logico del calcolo sarebbe questo :

 

    1. La tale proposizione vale per tutti i numeri
    2. a, b… sono numeri
    3. La tale proposizione vale per a, b…

Egli conclude dicendo che tutto il calcolare è un sostituire (mettere simboli al posto di altri) e sostituire vuol dire sussumere. Ad es. noi otteniamo il valore di (a+b+c)2, considerando questa espressione come caso specifico dell’espressione (x + c)2 in cui il numero x ha in questo caso la forma specifica (a+b). La sostituzione di segni differenti per uno stesso concetto è una sussunzione nella quale i due concetti hanno la stessa estensione.

 

 

I sillogismi

 

Schlick poi dice che le inferenze rigorose di altre scienze non sono differenti logicamente da quelle matematiche ed ammette che il pensiero umano solitamente non si svolga in maniera logica, ma ritiene giustamente che la logica sia lo strumento migliore per sistematizzare il pensiero umano.

Schlick sostiene che :

  • I giudizi particolari non hanno utilità per una interconnessione rigorosamente sistematica.
  • La struttura di Barbara, unico sillogismo che garantisca la concatenazione sicura delle verità tra loro, ci insegna che la conclusione di un qualsiasi sillogismo non contiene mai una conoscenza che non sia presupposta come valida nella premessa maggiore oppure in ambedue le premesse dell’inferenza. La premessa maggiore di un sillogismo già presuppone per la sua validità la verità di giudizio che poi compare come conclusione. Infatti in Barbara noi siamo certi della correttezza della premessa maggiore solo quando ci siamo persuasi che davvero tutti gli M senza eccezione sono P. Di questi M però (per la premessa minore) fanno parte anche tutti gli S dei quali dobbiamo già sapere che sono P prima ancora di poter affermare la validità della premessa maggiore. Quindi, affinché si possa stabilire la premessa maggiore, deve esserci già noto che tutti gli S ammettono di essere designati dal concetto P.
  • Dunque in genere le premesse delle verità logiche sono ipotetiche e la logica di per sé non ci dà conoscenza. Essa è la certificazione sistematica delle conoscenze che riteniamo di avere. Essa struttura le nostre ipotesi, le nostre presunzioni e le nostre intuizioni in maniera che diventino conoscenza.

Schlick fa l’esempio dell’ipotesi scientifica :

    1. Nella propagazione di onde in determinate circostanze si presentano fenomeni di diffrazione e di interferenza.
    2. I raggi Rontgen sono propagazioni di onde.
    3. Nei raggi Rontgen in determinate circostanze si presentano fenomeni di diffrazione e di interferenza.

Schlick dice che in questo caso il sillogismo non serve affatto a derivare una nuova verità da proposizioni valide, ma svolge solo il ruolo di un filo conduttore nella ricerca di istanze empiriche che servano da sostegno alla validità dell’ipotesi da verificare che è in questo caso la proposizione (2). Quando ci chiediamo se il sillogismo produca nuova conoscenza, vogliamo sapere se in esso sia insita la garanzia della validità di detta conoscenza.

 

 

La logica come conoscenza analitica

 

Schlick poi dice che quando applichiamo “Tutti gli uomini sono mortali” ad un individuo ancora vivente, la conoscenza di un individuo non viene ottenuta attraverso il sillogismo stesso, la cui premessa maggiore già presuppone la validità della conclusione. Il vero avanzamento di conoscenza sta nel passaggio dalla proposizione “Tutti gli uomini che sono morti finora erano mortali” alla proposizione “Tutti gli uomini sono mortali” e questo passaggio viene compiuto già prima di aver stabilito la premessa maggiore. La nostra inferenza fa uso del ponte già in precedenza gettato dal particolare all’universale per procedere su di esso all’indietro. La questione della legittimità di quel passaggio costituisce il problema dell’induzione. Quest’ultima non ha niente a che fare con meri rapporti tra concetti, ma riguarda la realtà stessa designata dai concetti.

Schlick esamina anche l’obiezione per cui in proposizioni come “Ogni evento ha una causa” si afferma non l’universalità del numero dei casi individuali, ma la necessità è in ogni caso individuale di connettere il predicato con il soggetto. La proposizione in oggetto non constata solo che, in ogni caso in cui ha luogo un evento, è presente anche una causa, ma afferma che ad ogni evento appartiene di necessità una causa. A questa obiezione Schlick oppone le seguenti osservazioni :

  • Ciò presuppone che noi co(nosciamo) proposizioni del tipo indicato la cui validità per noi è assolutamente certa e ciò indipendentemente dall’esperienza che invece ci dice solo ciò che è e mai ciò che deve essere. In pratica in questo caso si presuppongono giudizi sintetici apriori ed un argomento che presuppone tali giudizi per noi non ha peso.
  • Anche in questo caso l’avanzamento di conoscenza non sarebbe dovuto al sillogismo, ma solo a quella facoltà del nostro spirito che ci assicura della validità della premessa maggiore, la quale nel sillogismo si inserisce già con il suo valore di verità

Schlick dice anche che, se applichiamo la proposizione che ogni evento ha una causa ad un processo specifico e quindi affermiamo che anche quest’evento è casualmente condizionato, questa conoscenza non ci sembra affatto nuova e sorprendente, anche se quell’evento fosse di un genere del tutto nuovo e mai osservato. Noi semplicemente lo inseriamo senza stupore nello schema del principio di causalità espresso dalla proposizione.

Schlick poi dice che si possono dare casi diversi da questo, nei quali la conclusione di procedimenti sillogistici (ovvero i risultati di un calcolo) ci sorprendono e ci pervengono come conoscenza inattesa. Ciò dimostra però, secondo Schlick solo che psicologicamente l’esito non era stato già pensato nelle premesse maggiori. Ciò non vuol dire che logicamente non fosse contenuto in esse. Noi non ci interroghiamo su cosa sappia questo o quell’individuo, ma unicamente su come i giudizi conseguano l’uno dall’altro e si connettano nel dominio della verità.

Schlick aggiunge che la verità “113 è un numero primo” può essere per uno scolaro qualcosa di nuovo. Non di meno esso si lascia derivare il modo puramente sillogistico dalle definizioni dei concetti “numero primo” e “113 e logicamente è dato contemporaneamente a tali definizioni. Egli conclude che si tratta dei rapporti ideali tra giudizi e non delle concatenazioni degli atti di giudizio che li presentificano nella coscienza e che sono ovviamente processi reali.

 

 

Alcune obiezioni

 

Schlick poi passa a criticare la teoria di Bradley, Riehl e Storring, secondo cui alcune inferenze deduttive sono sicuramente giudizi sintetici. Questi autori dicono che, in proposizioni tipo “(A>B e B>C) ® (A>C)” la conclusione contiene una verità che non è data in nessuna delle due asserzioni precedenti. Infatti nella prima premessa non si dice nulla circa C, mentre nella seconda non si dice nulla circa A. La conclusione che parla del rapporto di A con C sarebbe qualcosa di completamente nuovo. Riehl aggiunge che queste inferenze non sarebbero sillogismi dal momento che ad esse mancherebbe il termine medio, ma la loro forma sarebbe più semplice di quella sillogistica. Schlick obietta che questa classe di inferenze deve il suo particolare carattere alla natura peculiare dei concetti di ordine che ricorrono in esse, concetti come “maggiore di…” oppure “a destra di…”. Le inferenze in questione possono essere concepite come formulazioni abbreviate di sillogismi regolari di natura composta. La conclusione cioè in essi non segue immediatamente e senz’altro dalle premesse : può essere tratta solo con l’ausilio di certi principi che non vengono per sé enunciati, ma che pure entrano nei processi di rappresentazione sotto una forma intuitiva e che per questo passano inosservati. Questi principi tuttavia sono forniti dalle definizioni di quei concetti d’ordine che vengono usati nelle inferenze.

Secondo Schlick ad es. la relazione “maggiore di…” può essere paradigmatica, in quanto le inferenze affini si lasciano ricondurre a questo stesso schema. Ad es. “A è a destra di B” vuol dire ad es. che, se A e B sono due punti con ascisse positive, quella di A è maggiore di quella di B.

Schlick dice che, per giudicare se il contenuto della conclusione vada o no oltre il contenuto delle premesse, noi dobbiamo prescindere da tutti gli oggetti reali o intuitivi per i quali l’inferenza può valere, altrimenti corriamo il pericolo di prendere per una derivazione puramente logica qualcosa che in verità è stato solo un desumere dall’intuizione. Ma ciò significa che dobbiamo rifarci alle definizioni implicite dei concetti che compaiono nell’inferenza. I concetti implicitamente definiti tra i quali sussiste la relazione “maggiore di…” si chiamano numeri (infatti inferenze della forma considerata sono applicabili alla realtà solo laddove si tratti di oggetti numerabili o misurabili). Quindi le definizioni con cui abbiamo qui a che fare sono nient’altro che il sistema di assiomi della teoria dei numeri o aritmetica.

Schlick continua dicendo che, seppure la questione della completa incontraddittorietà  del sistema di assiomi dell’aritmetica non è stata ancora definitivamente risolta, si può dire che di solito in questo sistema di assiomi la relazione “maggiore di…” viene definita semplicemente con l’ausilio della proprietà della transitività (si intende per relazione transitiva una relazione R tale che soddisfi la condizione per cui, se valgono aRb e bRc, allora vale anche aRc).

Si vede subito, conclude Schlick, che, stando così le cose, non è più possibile affermare delle inferenze in questione che esse condurrebbero a conoscenze nuove. Al contrario esse dicono del tutto banalmente solo ciò che è contenuto per definizione nei concetti impiegati. Inoltre quelle inferenze possono essere presentate, anche se in maniera più complicata, nella forma classica del normale sillogismo “Barbara” nel qual caso allora compare come una delle premesse del sillogismo (essendo “maggiore di…” una relazione transitiva).

Schlick poi, da un lato ammette che, data la ricchezza di relazione celata nella definizione implicita, la proposizione “A è maggiore di B” contiene molto più di quanto sembri a prima vista e cioè che A è maggiore anche di tutti quei numeri che sono minori di B. Anche qui la conclusione non ci dice niente di nuovo ed anzi ci dice meno che la prima premessa.

Schlick infine critica la tesi di Durr per il quale nel concetto di B non è implicito che C sia minore di B. Schlick obietta che è implicito nel concetto di un determinato numero (il quale numero specifichi secondo l’esperienza il posto di B) che tale numero è maggiore di un certo altro numero (del quale l’esperienza abbia insegnato essere quello che individua la collocazione dell’oggetto C).

Schlick conclude dicendo che, nell’esercizio pratico del pensiero, tutte le nostre definizioni sono costituite in modo da correre parallelamente al rappresentare intuitivo, in quanto in definitiva devono pur sempre servire a designare ciò che è intuito attraverso i concetti. Tuttavia, dove, nell’interesse di un assoluto rigore, l’essenza dei concetti ci è lecito ravvisarla solamente nelle relazioni in cui essi stanno tra loro, consideriamo i concetti indipendentemente dai loro scopi, ecco che allora il tipo di inferenza usato diventa una vera e propria struttura sillogistica, un’inferenza da proposizioni generali. Dal momento che queste proposizioni sono semplicemente le definizioni da cui l’inferenza procede e non le si può concepire come principi secondo i quali si compie l’inferenza (tesi di Riehl).

Schlick dice che con quello che sappiamo sulla vera natura dei giudizi e dei concetti, tale risultato non arriva a sorprenderci. Come potrebbe accadere che, combinando fra loro dei giudizi, ne uscisse qualcosa che non fosse fin da principio contenuto in essi ? Concetti e giudizi non sono cose reali, configurazioni plastiche che, dispiegandosi e sviluppandosi, possano generare qualcosa di nuovo. Essi sono segni fissi che non hanno mai proprietà diverse da quelle che sono state loro attribuite mediante definizione. Per quanto si voglia concatenare tra loro concetti o giudizi, quello che ne potremo ottenere saranno forse nuove formazioni concettuali, mai però nuove conoscenze. Il puro pensiero consiste solo nello svolgere quello che è contenuto nelle premesse maggiori, cioè nel disciogliere quanto è raggruppato in esse.

Per Schlick l’origine delle proposizioni generali che fanno da premesse è diverso nelle diverse discipline ed aggiunge che, nelle pure scienze di concetti come l’aritmetica, esse hanno tutte il carattere di definizione. Egli chiarisce poi che, per la deduzione ovviamente, per l’inferire rigoroso stesso, non c’è più bisogno di alcuna esperienza, in quanto, per ottenere la proposizione che costituisce la conclusione di un’inferenza, si richiedono solo le proposizioni che costituiscono le premesse in quanto in esse è celata la conclusione e si tratta solo di tirarla fuori per mezzo dell’analisi.

 

 

I giudizi particolari e “Barbara”

 

Schlick non sembra cogliere il fatto che, se diciamo che “x, y, z sono P”, facciamo una descrizione e non un giudizio scientifico. E ciò accade anche quando diciamo che “Alcuni S sono P”, se ciò segue dall’osservazione che (x) Ú (y) Ú (z) sono P.

Scientifica invece è la deduzione che “Almeno un S è P” oppure  che (x) Ú (y) Ú (z) sono P, ma non l’affermazione in sé.

Che un giudizio particolare sia un’abbreviazione imperfetta per un giudizio estensionale (“S1, S2sono P”) è vero da un punto di vista ontologico-naturalistico, ma da un punto di vista ingenuo si può dire con ragione “Alcuni S sono P” anche senza aver visto determinati S che sono P.

Ma Schlick compie un errore marchiano nel dire che la traduzione di “Alcuni S sono P” con “x, y, z sono P” sia una trasformazione dei giudizi particolari in giudizi universali, Si tratta invece di un passaggio ad una serie di giudizi singolari, a meno che l’universalità non stia nell’uso delle variabili, ma a questo punto staremmo di nuovo all’indeterminazione di “Alcuni S sono P”.

Anche nel definire il sillogismo “Barbara”, Schlick è completamente fuori strada, dal momento che lo definisce come la sussunzione di un caso specifico sotto una proposizione generale, mentre nella forma canonica esso è la sussunzione di una proposizione generale (la conclusione) sotto un’altra proposizione generale (la premessa maggiore) per il tramite di una terza proposizione generale e cioè la premessa minore (“Tutti gli M sono P; Tutti gli S sono M; Tutti gli S sono P”). Se poi si usa la forma modificata con dei giudizi singolari (“Tutti gli uomini sono mortali; Socrate è un uomo; Socrate è mortale”) abbiamo la sussunzione di un caso specifico sotto una proposizione generale sì, ma tramite un altro caso specifico (“Socrate è un uomo”). A meno che Schlick intenda dire che “Socrate” sia il caso specifico sussunto attraverso il sillogismo al predicato “mortale”, essendo già sussunto nella classe degli uomini. In questo caso però la sussunzione avviene in presenza di una sussunzione già data (la premessa minore).

 

 

Calcolo numerico e deduzione logica

 

Quanto all’idea di interpretare il calcolo numerico come un’inferenza, ci sono problemi che vanno esaminati : ad es. che rapporto c’è tra la sostituzione di segni e la deduzione logica ?

Inoltre Schlick quando evidenzia lo schema logico del calcolo, trascura il fatto che nel calcolo la generalizzazione è implicita nell’uso stesso dei simboli, nell’uso cioè delle stesse cifre o delle stesse variabili. Dicendo che il calcolo è una sostituzione e che le sostituzioni sono delle sussunzioni, Schlick fa una descrizione più aderente, ma diversa dallo schema sillogistico prima presentato.

Egli ammette pure che tra matematica e logica non v’è nessun rapporto privilegiato, in quanto le inferenze rigorose di altre scienze non sono differenti logicamente da quelle matematiche.

Il punto probabilmente è che la logica è un metodo di sistematizzazione delle scienze e la matematica è stata una delle prime scienze ad essere sistematizzata e ad usare implicitamente il quantificatore universale nell’suo dei simboli al fine di generare proposizioni logicamente vere.

 

 

La verificazione delle premesse

 

La concezione di Schlick è molto originale, ma trascura la natura propria della verità logica, la quale astrae dalla verificazione delle premesse, per mettere invece in evidenza la connessione tra le proposizioni. La vera struttura del sillogismo infatti è : “Se tutti gli uomini sono mortali e Socrate è un uomo, allora Socrate è mortale”. Questa verità logica è tale a prescindere dalla verificazione estensionale (caso per caso) delle premesse. Dato “Se tutti gli uccelli hanno le ali ed il canarino è un uccello”, allora Giorgio, sapendo che Aldo ha un canarino, può inferire legittimamente che il canarino abbia le ali, senza fare la verifica che tutti gli uccelli abbiano le ali.

Schlick inoltre non tiene conto del fatto che la verifica completa di una proposizione universale è  impossibile (giacché non si può neanche dire con certezza se un insieme abbia un numero finito o infinito di elementi : ad es. dei leoni possono anche esistere su altri pianeti …).

Perciò la logica considera cosa sia vero data la verità di alcune altre proposizioni, per cui la verifica delle premesse non è rilevante (la logica comincia quando alcune proposizioni sono state già verificate o stipulate per vere). Essa è uno strumento per collegare proposizioni che si considerano vere per ipotesi, per convenzione o per evidenza empirica. La verità logica rispetto a quella fattuale si trova ad un livello meta-linguistico.

 

 

La conoscenza non è una proprietà logica

 

Schlick poi riduce il ruolo della logica a quello di motore di ricerca di istanze empiriche che sostengano la validità delle ipotesi da verificare. In realtà la logica, sistematizzando le credenze, consente anche di verificare le ipotesi assunte. Tuttavia sapere che da certe premesse derivino certe conseguenze è una conoscenza in più, dal momento che la conoscenza non è una proprietà logica delle proposizioni, ma il processo psicologico che consente la consapevolezza della verità di una proposizione. La conoscenza è un evento fenomenologico posto in essere da proprietà logico-ontologiche delle proposizioni.

Schlick confonde la verità logica con quella fattuale e vuole la certezza della verità della conclusione del sillogismo, mentre la verità logica è una verità metalinguistica che non si applica a proposizioni atomiche. Tuttavia essa ha un’ importanza pragmatica, dal momento che ci consente di orientarci razionalmente nei casi specifici grazie al fatto che rende più corrette le inferenze deduttive che effettuiamo quotidianamente (anche senza esplicitarle).

La conoscenza prettamente logica è la deduzione della conclusione dalle premesse. Altro è il fatto che la conclusione sia logicamente implicita nelle premesse, altro è il fatto (non vero) che la conoscenza della conclusione sia implicita nella conoscenza delle premesse, in quanto non esiste conoscenza che non sia esplicitazione (consapevolezza) e dunque una conoscenza implicita è una contraddizione in termini.

Schlick confonde :

  • La sua capacità e rapidità di apprendimento con l’assenza di qualcosa che debba essere appreso. Se avesse letto le ricerche sperimentali di Piaget sull’apprendimento infantile, con tutta la sorpresa legata all’apprendimento di cose “ovvie”, egli avrebbe forse cambiato idea.
  • Le verità logiche (rapporto tra proposizioni) e le verità di fatto (rapporti tra proposizioni e stati-di-fatto).
  • La costruzione di enunciati (opera del soggetto linguistico) ed il costituirsi di proposizioni (che sono stati-di-fatto ideali).
  • Una verità logica e la conoscenza di tale verità logica e dunque un rapporto sintattico con una relazione epistemica quale è la conoscenza (il primo del tutto autonomo dallo psichico mentre nel secondo l’aspetto psichico di consapevolezza ha un ruolo centrale).

Inoltre la deduzione logica può presupporre una conoscenza metafisica della relazione tra l’idea di “umano” e l’idea di “mortale”. Che questo legame sia un salto induttivo è un presupposto come un altro, ma il fatto che dipenda dalla realtà è vero sino ad un certo punto perché è sempre possibile reinterpretare una smentita ricorrendo alla sfera del Divino e dire “Sembra un uomo ma è un Dio” oppure “Essendo caro agli Dei, è stato assunto tra loro”. In pratica si può in ogni momento difendere il legame tra concetti da qualsiasi  rapporto di verifica con la realtà empirica.

 

 

 

Ogni evento ha una causa

 

Quanto all’analisi del principio di ragion sufficiente, Schlick ha ragione nel dire che esso potrebbe essere solo una proposizione sintetica a priori, anche se non è vero che argomenti che presuppongano giudizi sintetici a priori non possano essere presi in considerazione. Schlick poi sbaglia anche nel considerare ininfluente la premessa minore del sillogismo che costituirebbe il principio suddetto : egli infatti confonde la premessa maggiore con tutte le proposizioni (gli esempi particolari) che verificano la premessa maggiore stessa e tutte le proposizione legate a tale verifica. Anche qui dunque significato, verità e verificazione assumono un collegamento troppo stretto (è il riduzionismo neopositivista ad istituirlo). In realtà la supposta verifica  della premessa maggiore sarebbe in parte il sillogismo stesso e dunque essa non è implicita nella premessa maggiore, ma solo in entrambe le premesse (se ciò che dice Schlick fosse vero, non ci sarebbe bisogno di sillogismi).

Per fare un es. il sillogismo può avere la seguente struttura :

  1. Tutti gli x che hanno le proprietà A,B,C hanno anche la proprietà D.
  2. Socrate ha le proprietà A, B, C.
  3. Dunque Socrate ha anche la proprietà D.

Schlick invece fa un ragionamento con questa struttura solo apparentemente non sillogistica :

  1. Tutti gli x che hanno le proprietà A, B, C. hanno anche la proprietà D.
  2. Socrate ha le proprietà A, B, C … dunque D.

 

 

 

1/3 è un numero primo

 

Quando poi Schlick cerca di dimostrare che “1/3 è un numero primo”, pur essendo una nozione nuova per uno scolaro, si lascia derivare in modo puramente sillogistico dalle definizioni di “numero primo” e di “1/3”, egli trascura che una conclusione è tale proprio se le definizioni dei termini sono state così costituite, ma tale costituzione segue da proprietà che si attribuiscono attraverso progressive intuizioni noematiche, tali da rendere la conclusione suddetta una nozione nuova per uno scolaro. Solo dopo che tali intuizioni sono acquisite, si può strutturare il sapere conseguito in forma tale per cui la conclusione derivi analiticamente dalle premesse. Ma si tratta appunto di una modalità sistematica di organizzazione del sapere, non di una struttura essenziale delle proposizioni. I rapporti ideali tra le proposizioni (che non riguardano affatto la natura analitica o sintetica della conoscenza ad esse collegata) appartengono all’ontologia e solo di riflesso ad una costruzione formale ed utopisticamente completa della conoscenza (cristallizzata nella scrittura dei manuali o delle enciclopedie). La conoscenza concreta invece è un processo psicologico reale.

Schlick insomma ha una concezione della scienza come sistema già dato e verificato.

 

 

Conoscenza analitica e relazioni transitive

 

Quanto ai concetti d’ordine comparativi (es. “maggiore di …”), la nozione che Schlick usa di sillogismi regolari di natura composta è piuttosto problematica e sembra essere una categoria ad hoc per spiegare un’inferenza che non sembra lasciarsi ridurre ad un sillogismo. Concetti relazionali e comparativi come “maggiore di …” e “a destra di …” sembrano essere strutture ideali platoniche grazie alle quali è possibile una sorta di conoscenza sintetica a priori. Schlick ammette comunque che in queste inferenze la conclusione non segue immediatamente dalle premesse ed allora se si tratta di sillogismi almeno non si tratta di tautologie. I principi che non vengono per sé enunciati di cui parla Schlick sembrano proprio essere degli a priori, delle strutture ideali che caratterizzano gli enti relazionali (concetti d’ordine) che fondano questo tipo di inferenze.

Quanto al fatto che la relazione “maggiore di …” possa essere paradigmatica, in realtà ci troviamo di fronte ad una opzione riduzionistica (ad es. “a destra di …” riconducibile a  maggiore di …”), dal momento che è possibile anche una riduzione inversa (ad es.  maggiore di …” riconducibile a a destra di …”). Bisogna anche sottolineare che tale riduzione mantiene  un altro aspetto arbitrario proprio perché nessuno ci obbliga logicamente a simulare che “destra” sia sinonimo di “maggiore”. E’ molto probabile si tratti di analogie solo parzialmente applicabili.

Inoltre cosa intende in questa suo argomento Schlick per “intuitivo” ed “intuizione” ? Cosa differenzia l’individuazione di una definizione implicita da un’intuizione ? Poi dato un collegamento tra “a destra di …” e “maggiore di …” ed un altro collegamento tra “maggiore di …” e “numeri”, si può parlare di un collegamento dello stesso tipo tra “a destra di …” e “numeri” ? E tale collegamento è della stessa forza ? Qui dovrebbero parlare gli esperti di logica fuzzy.

Schlick poi per ridurre una presunta conoscenza sintetica a priori ad una tautologia, mette quale premessa di tale conoscenza la regola di deduzione che rende possibile il passaggio dalle premesse alla conclusione. E’ questa una procedura logicamente corretta ? E così facendo non si crea una terza premessa del sillogismo ? Quale figura logica si costituisce in questo modo ? A sua volta la regola di deduzione sembra essere la funzione proposizionale che schematizza l’intera inferenza e dunque sembrerebbe che il carattere tautologico dell’inferenza sia esemplificabile solo con una tautologia (dove la premessa del sillogismo è lo stesso sillogismo con le variabili al posto dei termini).

Schlick continua a presupporre che nelle premesse sia già tutta intera la conclusione (dicendo che aRb implica che a sia maggiore di tutti i valori inferiori di b) e che il carattere universale della premessa maggiore renda non sintetica l’intera inferenza. Inoltre egli pensa che la definizione implicita sia riducibile ad un sillogismo e per fare questo pare a volte ipotizzare sillogismi di nuova specie. Forse invece la definizione implicita contiene proprio quella che chiamiamo conoscenza sintetica a priori e ridurla ad un sillogismo potrebbe risultare aporetico, dal momento che l’esplicitazione delle relazioni implicite, con una verifica praticamente illimitata dei singoli casi ricompresi nella premessa maggiore, costituirebbe proprio la conoscenza della realtà ideale, conoscenza mai costruibile una volta e per tutte e dunque mai definibile come analitica.

Nel momento in cui Schlick ne vorrebbe dimostrare l’analiticità è costretto a fare quella verifica empirica che vorrebbe eludere e a rimettere in gioco la premessa minore di cui vorrebbe ridimensionare il ruolo. Senza contare che se la premessa minore fosse diciamo “ingoiata” dalla premessa maggiore, quest’ultima sarebbe in maniera ancora più evidente una funzione proposizionale saturabile illimitatamente proprio dai casi empirici, perdendo il proprio carattere solo formale che le si vuole attribuire.

 

 

Conclusioni : la natura delle definizioni implicite

 

Schlick presuppone che i concetti siano nostri artefatti, magari anche rigidi. Ma da dove deriva tale conclusione, visto che questa non viene accettata dall’Idealismo oggettivo  e dunque non va presa come una premessa indubitabile ? Per Hegel ad es. lo svolgersi del Concetto era conoscenza. Schlick non ci spiega nemmeno perché la contemplazione di nuove formazioni concettuali non sarebbe nuova conoscenza. Né perché non lo sia l’esplicitazione di ciò che è implicito. Una conclusione celata, una volta scoperta, non dà luogo ad una conoscenza ? E dire “Si tratta solo di tirarla fuori” non nascondo nel “solo” tutta le difficoltà e l’avventura della riflessione filosofica ?

Schlick nega in realtà l’evidenza del carattere storico sia della conoscenza, sia delle stratificazioni dei concetti che rendono possibile quest’ultima. I concetti poche volte nel corso della storia sono stati costruiti come in fabbrica, sapendo cioè perfettamente quello che c’è dentro. Le stesse definizioni implicite attinte da Hilbert non sembrano costruite e di esse spesso non sembriamo avere consapevolezza (per cui la costruzione della geometria euclidea è la croce e la delizia degli studenti).Esse sono talmente strane da motivare forse Wittgenstein a dire che la logica sia qualcosa che si mostra.

Infine, se nel sillogismo la premessa minore deriva da quella maggiore, attraverso il suo esplicitarsi estensionale, allora il processo inferenziale non è limitato solo alla deduzione della conclusione, ma anche alla verifica ed all’articolarsi delle premesse e dunque al rapporto di volta in volta empirico con l’illimitatezza del particolare.

 

 


22 marzo 2010

Definizioni e sistemi formali in Schlick

 

Le difficoltà dei rapporti tra percezione e memoria ed il ruolo dei concetti

 

Schlick dice che, se ho in mano un pezzo di metallo, non posso sapere se è argento sulla base della comparazione tra rappresentazione percettiva e rappresentazione mnemonica. Dobbiamo infatti ricorrere al concetto scientifico di argento (peso specifico 10,5 oppure peso atomico 108 etc.) e vedendo se il pezzo di metallo ha queste proprietà, veniamo a sapere se si tratta di argento o meno.

Schlick poi nota che anche la lettura di una scala, la posizione di un indice sono osservazioni sensoriali, riconoscimenti di immagini percettive e dunque sottoposte all’insicurezza di cui si è parlato prima. Egli da ciò deduce il fatto che ogni definizione si riferisce a caratteristiche che alla fine sono sempre di natura intuitiva. Schlick riconosce che la difficoltà per la quale erano stati introdotti i concetti è stata soltanto spostata, ma tuttavia con l’introduzione dei concetti è possibile, grazie a definizioni appropriate, trasferire quella difficoltà a livelli dove ogni errore può essere escluso con una sicurezza sufficiente per tutti gli scopi delle scienze individuali.

A tal proposito Schlick fa degli esempi :

  • Se il concetto di “pesce” è quello di un animale che depone uova e respira per mezzo di branchie, non si potrà mai cadere nell’errore di prendere una balena per un pesce.
  • Anche le caratteristiche del concetto di “argento” sono scelte allo stesso modo cosicché, per tutti i fini pratici come per quelli scientifici, il riconoscimento possa essere garantito con precisione sufficiente.

 

La necessità dell’intuizione

 

Schlick però intravede un’altra possibile obiezione e la sviluppa compiutamente : tale obiezione afferma che, essendo la definizione di un concetto consistente nella specificazione delle sue caratteristiche, queste, perché possano essere determinate con esattezza, debbono venire definite a loro volta e cioè risolte in ulteriori caratteristiche e così via. Le alternative sono a questo punto due :

  • Un regresso ad infinitum che renderebbe illusorio ogni definire.
  • Un arrivo a caratteristiche intuitive non suscettibili di definizione, che però per loro natura non sarebbero esatte e l’esito sarebbe lo scetticismo.

Schlick aggiunge che i vissuti empirici non sono oggettivamente indeterminati, ma tuttavia sono instabili e transeunti così da rendere problematica la loro riproduzione e la loro conoscenza, giacchè il ritenerli nella memoria va incontro a difficoltà già evidenziate.

Schlick poi riferisce la tesi dei logici (tesi forse di ispirazione aristotelica) per cui i principi primi della logica non solo non sono suscettibili di definizione, ma non ne avrebbero nemmeno bisogno : il contenuto dei concetti più semplici viene esibito dall’intuizione (ostensione).

Schlick argomenta che questa tesi o significa che l’intuizione non è confusa, ma chiara e distinta, oppure significa che la certezza assoluta non è né raggiungibile né forse necessaria (Gorgia e forse Stuart Mill). Secondo quest’ultima concezione, anche le proposizioni dell’aritmetica sono proposizioni empiriche che partecipano di quella mancanza di certezza che è propria dell’empiria. Quanto alla prima alternativa, aggiunge Schlick, essa dice che se il dato è fugace, c’è in esso qualcosa di costante ed è la legge che lo informa. Il problema per Schlick è cosa sappiamo di tali regole ? Come le possiamo conoscere se il nostro criterio sono sempre i contenuti intuitivi ?

Schlick esemplifica il proprio programma di ricerca con un dilemma : il contenuto di tutti i concetti può essere trovato solo nella dimensione intuitiva o il significato di un concetto può non essere riducibile a rappresentazione empirica e dunque dare luogo a conoscenza non effimera ?

 

 

Hilbert ed il ruolo della matematica nella logica

 

Schlick sostiene che la spinta per risolvere questioni di logica è venuta dalla matematica. All’inizio i matematici accettavano l’indefinibilità dei concetti elementari della geometria, ma, nel corso della storia hanno ridotto al minimo i concetti indefinibili e le proposizioni assiomatiche, evitando locuzioni del tipo “Dall’esame della figura segue…” oppure “Dal disegno si vede..”, locuzioni che richiamano sempre un ricorso all’intuizione. E’ stato Hilbert che ha portato a compimento il progetto di riduzione al minimo del fattore intuitivo sia nella definizione dei concetti che nella postulazione degli assiomi. Il principio di Hilbert fu quello di introdurre i concetti fondamentali senza previa definizione, ma attraverso una definizione implicita che passasse attraverso l’uso dei termini negli assiomi, in maniera da soddisfare immediatamente gli assiomi che li contengono.

Schlick tramite Hilbert argomenta che i concetti non hanno valore conoscitivo autonomo, ma solo all’interno di proposizioni (ad es. gli assiomi) da cui si inferiscono altre proposizioni. Con la definizione implicita non si crea qualcosa di nuovo, ma si reinterpreta la natura dei concetti usati il cui significato intuitivo non ha importanza. Tutti i concetti invece sono definiti solo attraverso il loro stare (ciascuno con tutti gli altri concetti) in quelle determinate relazioni stabilite dagli assiomi.

La geometria hilbertiana è caratterizzata da un sistema di proposizioni con parole come “punto”, “retta”, “piano”, “tra”, “fuori di”, i quali non hanno senso in sé, ma ricevono senso attraverso il sistema di assiomi e tutto il loro essere consiste nell’essere portatori delle relazioni stabilite dal sistema. A Schlick ciò non comporta alcun problema visto che i concetti non sono in sé nulla di reale ed egli argomenta verso tutti coloro che rimangono perplessi di fronte a concetti senza significato proprio e fa l’esempio della geometria dove ad es. nelle geometrie non-euclidee i concetti di retta, piano, punto stanno tra loro nelle medesime relazioni, ma hanno rappresentazioni intuitive diverse (ad es. la retta è un cerchio, il piano una superficie sferica).

 

 

Assiomatica e geometria

 

Per Schlick come per Carnap la conoscenza è conoscenza della forma (platonismo) e nella geometria analitica il punto è solo una tripla di numeri. La geometria non è propriamente scienza dello spazio, giacchè le configurazioni spaziali svolgono solo il ruolo di esempi intuitivi in cui le relazioni fissate in astratto nelle proposizioni geometriche si trovino realizzate. Secondo Schlick, mentre la definizione concreta rimanda ad un qualcosa di reale, all’intuizione, la definizione implicita rifiuta questo rinvio. Egli è consapevole che una pura rete sintattica può essere un mero gioco di simboli (formalismo). Ma ci sono scienze della realtà che applicano questi concetti alla dimensione dell’intuizione, anche se senza la sicurezza di un perfetto rigore.

Schlick dice che Kant, dando per scontato che i giudizi geometrici erano apoditticamente certi, si premuniva di spiegare perché. In realtà tale presupposto non è più tanto certo ed egli si rende conto che la coerenza resa possibile dalla definizione implicita si contrappone alla dimensione dell’intuizione del mondo reale, generando un rinnovato dualismo di marca quasi cartesiana. Schlick considera tale separazione un costo necessario per la chiarificazione dei termini del problema e per individuare le reali relazioni tra i due termini così nettamente distinti. Egli dice poi che non ogni gruppo arbitrario di postulati può essere assunto come definizione implicita di una serie di concetti. Gli assiomi ad es. non debbono contenere alcuna contraddizione, né devono implicarla e tale dimostrazione è un compito difficile che però è interno alla teoria in questione e può essere immaginato come risolto.

Schlick infine precisa che in matematica la definizione esplicita è una definizione che esprime un concetto mediante una combinazione di altri concetti, in modo tale che questa combinazione possa essere sostituita al concetto definito ovunque esso ricorra. La definizione implicita si ha quando una tale combinazione non può essere specificata.

 




Come riconosciamo l’argento ?

 

Per ciò che riguarda la tesi per cui la comparazione tra rappresentazione percettiva e rappresentazione mnesica non è affidabile per il riconoscimento di qualcosa (ad es. l’argento), c’è da dire che comunque non esiste un metodo migliore dal punto di vista della certezza, ma solo dal punto di vista dell’esattezza. Infatti il concetto scientifico di argento per essere costituito e verificato pure ha bisogno della comparazione tra rappresentazione percettiva e rappresentazione mnesica : certe proprietà (peso specifico etc), per poter definire l’argento o debbono essere assiomaticamente tali (per cui “argento” diventa un  nome per un qualcosa che abbia queste proprietà) oppure debbono essere ricavate da un oggetto il cui “essere d’argento” è stato desunto tradizionalmente e cioè tramite una comparazione tra rappresentazione percettiva e rappresentazione mnemonica.

Come abbiamo visto, Schlick ammette che alla fine il rinvio è sempre all’intuizione, ma pensa che le difficoltà si sono spostate ad un livello dove l’errore può essere escluso con una certa sicurezza. Il problema è che l’esempio della balena non ci aiuta per niente : infatti in tal caso la definizione di errore è correlata a come sia stato definito il concetto di “pesce”. Quest’ultimo a sua volta non ci è di aiuto, ma è il risultato di una linea di demarcazione che è stata tracciata e si spera possa essere condivisa da tutti, in modo da rendere stabili e sufficientemente prevedibili le comunicazioni relative a tali argomenti. La cosa vale anche nel caso del concetto di “argento” con l’aggravante che in questa variante la verifica cosiddetta scientifica presuppone l’uso di strumenti che non sono alla portata di tutti. In tal caso il riconoscimento diventa possibile solo a pochi, compromettendo la riproduzione diffusa e condivisa del sapere : Perché la definizione scientifica di argento deve essere accettata da uno che non ha gli strumenti per poterla testare ? Ed estendendo la portata di tale problema,  perché uno che non è potuto andare a scuola non deve credere ai miracoli ? Perché uno che non ha accesso empirico ad un acceleratore deve convenire sull’esistenza degli atomi ? Il suo approccio alla questione è, in tali casi, lo stesso di un cristiano all’epoca del Medioevo (dovrebbe cioè credere per il principio di autorità, perché lo dice Boncinelli e la maestra a scuola etc. ).

 

 

Il rinvio ad infinitum è per forza un fallimento ?

 

Il ricorso all’intuizione da parte di Schlick come punto ultimo del definire (almeno nel caso della definizione esplicita) si basa sul rifiuto del rinvio ad infinitum, ma quest’ultimo è per forza un segno del fallimento dell’impresa conoscitiva ? In realtà lo è solo per chi ritiene che i concetti e le definizioni siano costitutive del loro oggetto, dal momento che, in questo caso,  il loro operare non avrebbe né compimento né verifica. Ma se l’oggetto della definizione fosse esterno ad essa, esso potrebbe essere inesauribile, sfuggente e ciò non comporterebbe un fallimento a priori dell’impresa conoscitiva. Dire poi che i contenuti intuitivi siano ontologicamente determinati è un’assunzione che a rigore, dati i presupposti da Schlick stesso accettati (un’antimetafisica radicale), non si potrebbe fare gratuitamente : sarebbe già di per sé una indebita escursione nell’ontologia.

 

 

Aporie hilbertiane

 

Quanto alle tesi di Hilbert (che, come si vede non solo da qui, hanno avuto un ruolo fondamentale nell’evoluzione del Neopositivismo logico), c’è da dire che i termini nella sua assiomatica sembrano definire solo delle funzioni, con un formalismo sintattico che sembra rifiutare qualsiasi riferimento semantico. (anche se questo approccio ricorda metaforicamente l’ontologia dello Hua-Yen Sutra per il quale l’intuizione della verità è l’apprensione dell’intera rete interdefinita della realtà attraverso uno dei suoi nodi) Nel caso di Hilbert l’intuizione forse non si riferisce però all’aspetto semantico ma al valore di verità (che non è verificato empiricamente, ma attribuito assiomaticamente). L’assenza del ricorso all’intuizione fa sì che nei sistemi di Hilbert sia assente il livello della F-verità ? Del resto se presupponiamo che la teoria di Neurath sia un corollario filosofico delle indagini hilbertiane notiamo che anche in Neurath il riferimento all’intuizione ed alla realtà empirica spariscono dall’orizzonte teorico. Se la rete sintattica è completa in se stessa, come si può applicare all’intuizione ? Una soluzione potrebbe essere l’isomorfismo spinoziano di Wittgenstein ?

Intanto c’è da dire però che l’approccio hilbertiano comporta una chiusura monadistica del sistema stesso, nella quale i termini possono essere solo interni al sistema e non possono rivolgersi all’esterno senza che questo non implichi un’estensione del sistema (che deve reincludere questo contesto al proprio interno). Ciò implica il rischio di una chiusura reciproca dei linguaggi, monadi  complete, coerenti e chiuse ad altri sistemi linguistici. E va risolto il problema di come si possano rapportare tra di loro. Per Schlick, come abbiamo visto, ciò non implica alcun problema in quanto i concetti non sono nulla di reale. Ma considerare reale solo ciò che è isolabile o definibile in sé (come un’essenza aristotelica) è un residuo dogmatico. Per cui è necessaria una dialettica che renda possibile una rappresentazione ontologica che faccia da correlato agli strumenti che Hilbert ha elaborato (Imre Toth sembra essersi impegnato in un’impresa del genere).

Se la definizione implicita rifiuta il rinvio all’intuizione e dunque una sorta di asimmetria della rete concettuale, ciò non  presuppone una circolarità tra assiomi e teoremi, vista anche l’interdefinibilità tra i concetti di un sistema formale ?

Ed ancora il fatto che nella definizione implicita non può essere specificata la combinazione di concetti in cui si risolve un altro concetto, lo si deve alla circostanza per cui la definizione implicita è un rinvio circolare (e perciò infinito) ad una rete sintattica, tale da non consentire l’esplicitazione di una combinazione base finita di concetti ?

Possiamo accennare in ultimo al fatto che alcune tesi di Schlick circa il carattere sempre interno al sistema formale della dimostrazione sono state messe in questione dalla prova di Godel.

 

 

La geometria non è mera assiomatica

 

L’esistenza del concetto sussiste proprio nelle relazioni logiche che instaura con altri concetti e non nelle rappresentazioni intuitive con cui si lega kantianamente all’empiria. Schlick sembra confondere Concetto e Vorstellung, cosa che Kant ed Hegel non facevano. L’”esser funzione” proprio del Concetto non è una dimostrazione della sua inesistenza, ma una forma di esistenza che non è legata all’empiria, l’appartenenza ad un livello ontologico suo proprio. E’ Schlick che prima vincola la conoscenza all’intuizione e poi svilisce il ruolo della rappresentazione intuitiva. Ma è il suo punto di partenza validativo che è sbagliato.

Egli sbaglia a mettere sullo stesso piano sillogismi, sistemi deduttivi ed espressioni algebriche. Altro è l’applicabilità di un’espressione formale a diversi contesti (formalismo), altro è il valore di verità di una tautologia quale che sia il significato dei termini interni alle proposizioni. Quando Schlick dice che nella geometria analitica il punto è solo una tripla di numeri, è necessario essere cauti in quanto quei numeri comunque indicano linee che si intersecano, perché ci sono relazioni ben definite tra quei numeri e forse di tipo non unicamente aritmetico. Schlick si ostina a confondere la geometria con l’assiomatica, quando la geometria è un’applicazione concreta dell’assiomatica, applicazione volta a sistematizzare una teoresi sullo spazio (fisico, percettivo), teoresi a sua volta fondata su assunzioni intuitive o presunte tali.

 

 


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