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10 giugno 2011

Illogica logica : la logistica classica

Malatesta dice che la logistica si divide in logistica classica e logistica eterodossa.

La logistica classica :

  1. E’ bivalente e cioè accetta due soli valori di verità
  2. Usa solo una implicazione e cioè l’implicazione materiale
  3. E’ in grado di definire tutti i suoi connettivi a partire da un connettivo unico
  4. E’ vero-funzionale e cioè fa dipendere il valore di verità dei suoi enunciati molecolari a partire dal valore di verità degli enunciati atomici che li compongono
  5. Può dedurre tutte le sue leggi da un assioma unico
  6. E’ atemporale

 

http://www.youtube.com/watch?v=LP1kfDI6xY4&feature=related

 

 

Una combinazione dei due valori di verità (V e F, né V né F) è un terzo valore di verità ?

Alcuni fenomeni (ad es. quelli sociali) possono sfuggire al principio della vero funzionalità ?

Dal punto di vista hilbertiano si può dire che il principio (III) e il principio (V) siano lo stesso, visto che gli assiomi di Hilbert si riferiscono alle relazioni che un concetto ha con tutti gli altri ?

 

 

 


9 giugno 2011

Illogica logica : Il carattere della logistica

Malatesta dice che la logistica

  • È lingua simbolica e dunque scritta.
  • Rigorosamente deduttiva, in senso aristotelico
  • Simbolizza sia le variabili che le costanti
  • Logica aristotelica, stoica e medioevale sono sue parti.

Logistica non è logicismo. Logicismo è una interpretazione della logistica per la quale non vi è distinzione tra logica e matematica in quanto

  1. La matematica può essere dedotta dalla logica
  2. I termini matematici sono definibili mediante termini logici
  3. I teoremi matematici sono deducibili da assiomi logici veri.

Hilbert invece fu un logistico, ma non un logicista : per lui il concetto è definibile attraverso le relazioni con altri concetti. Tali relazioni sono assiomi e dunque gli assiomi sono le definizioni dei concetti. Per Hilbert un concetto non è dato quando per ogni oggetto si può stabilire se questo cada sotto il concetto oppure no (Frege), ma la cosa determinante è il riconoscimento della non-contraddittorietà degli assiomi che definiscono il concetto.

Hilbert aderisce alla logica classica, adottando gli assiomi di PM e togliendo il quarto, dimostrato come superfluo da Bernays nel 1926.

Dunque si può aderire alla logica classica senza essere logicisti, formalisti o convenzionalisti.

 

 

http://www.youtube.com/watch?v=kTl3dtQviDA&feature=related

 

Cosa si intende per lingua simbolica ?

Se scrivo “®”, non possono leggerlo “implica”, così come leggo una sigla (ad es. “I.L.O.” la posso leggere “Organizzazione internazionale del lavoro”)?

E comunque non è del tutto convenzionale il rapporto tra grafema e fonema ?

Dunque, perché la lingua simbolica è per forza solo scritta ?

Anche se bisogna tenere conto del fatto che alcune scritture (le alfabetiche e le sillabiche) sono state costruite con una corrispondenza tra grafema e fonema.

 

Quanto al logicismo esso in realtà dice che la matematica è una parte della logica, una sorta di logica applicata agli oggetti di natura quantitativa. Ma si può anche obiettare che in realtà la matematica si può organizzare ed esprimere mediante un modello assiomatico, ma ciò vale per tutte le scienze e dunque questo non implica alcun rapporto profondo tra logica e matematica.

 

La tesi di Hilbert  che ogni concetto può essere definito tramite il suo rapporto con altri concetti può portare ad un circolo vizioso, giacchè anche per gli altri concetti vale lo stesso. A meno che il modello non sia quello delle relazioni spaziali tra punti su di un piano, ma in questo caso i concetti si possono distinguere tra loro nella misura in cui abbiano rapporti privilegiati con altri concetti. Ma questi o si riportano ai precedenti o si devono rapportare ad altri in un rinvio ad infinitum.

In realtà nel modello geometrico ci sono punti di riferimento esterni (materiali) che fanno da parametro assoluto (ad es. il punto A è quello più a destra all’interno del foglio) ed in cui il rinvio ad infinitum è semplicemente scongiurato da una situazione materiale che diventa fonte di una convenzione pragmatica.

 

 

 

 

 

 

 

 


8 giugno 2011

Illogica logica : le parti della logica matematica

Le parti della logica matematica sono:

 

  1. Teoria degli insiemi. Principale legame tra matematica e logica. Essa studia insiemi numerici sia infiniti che transfiniti con il sussidio della logica del primo ordine e della teoria dell’identità.
  2. La teoria dei modelli, unione della logica e dell’algebra universale
  3. La teoria della ricorsività, che studia la classe delle funzioni ricorsive, cioè delle funzioni effettivamente computabili e della loro applicazione alla matematica
  4. La teoria della dimostrazione studia, con strumenti della matematica le dimostrazioni intese come oggetti della matematica.
  5. Teoria delle categorie.
  6. Teoria della logica combinatoria.

 

http://www.youtube.com/watch?v=4ra2xYKdP8w&playnext=1&list=PL814B4E29C24FEB2A

 

La teoria degli insiemi ha una forte rilevanza ontologica e metafisica (si veda Cantor).

La teoria dei modelli ha una rilevanza epistemologica, ma anche ontologica (si veda Basti sull’analogia e Cocchiarella)

La teoria della ricorsività ha rilevanza ontologica (si veda Berto e Tagliabue sugli automi cellulari oppure Maturana e Varela)

La teoria della dimostrazione pure potrebbe essere ontologicamente usata per la fondazione di una metafisica riflessiva

La logica combinatoria si potrebbe collegare alla teoria degli insiemi ed essere così pure utilizzabile metafisicamente.

La teoria delle categorie ha una sicura valenza ontologica, parlando di strutture astratte

 

 

 

 

 

 


7 giugno 2011

Illogica logica : La logica matematica secondo Barwise

Per Barwise la logica matematica procede in questo modo :

  1. Assume come materiale grezzo le formule, gli assiomi, le dimostrazioni e i teoremi di tutte le branche della matematica.
  2. Costituisce una struttura matematica in cui questo materiale corrisponde ad oggetti astratti della struttura stessa
  3. Essa cioè trasforma formule, assiomi, dimostrazioni in oggetti astratti come punti, rette della geometria piana. Così essi possono essere studiati per mezzo degli strumenti esatti della matematica

 

 

 

La logica matematica è dunque interpretabile metafisicamente.

Essa realizza in un determinato campo il programma parmenideo e platonico di oggettivazione dei processi, di atemporalizzazione di procedimenti che accadono nel tempo, di spazializzazione astratta di strumenti che con la dimensione spaziale non hanno niente a che fare.

 

 

 

 

 


8 aprile 2011

Illogica logica : le variabili vincolate sono apparenti ?

Malatesta dice che la variabile apparente è anche vincolata al quantificatore che trasforma la funzione proposizionale in enunciato.

 

 

Ma è vero anche l’inverso, e cioè che le variabili vincolate sono apparenti ?  La variabile vincolata si può anche descrivere come una sorta di espressione incompleta all’interno di una proposizione molecolare tipo “(x è una cosa) implica (x è uno studente)” che costituisce il livello in cui proposizioni con variabili assumono un significato pur non trasformando la variabile in un individuo. La distinzione netta tra variabile reale e variabile apparente cioè non sussiste in quanto ci troviamo di fronte alla stessa variabile che può essere libera ( e costituire con il predicato una espressione insatura) o vincolata (e costituire con un’altra espressione insatura una  espressione completa e munita di senso).

Dicendo poi “(x è una cosa) implica (x è uno studente)” si costituisce una versione intensionale di una proposizione con quantificatore e si può evitare quest’ultimo : invece di saturare x volta per volta con un individuo, gli si può dare un ambito di variabilità e verificare se tale ambito sia un sottoinsieme della classe che è estensione del predicato indicato nella conseguenza logica dell’implicazione (nell’esempio “studente”).

 

Si può anche dire che le proposizioni della logica dei predicati (con quantificatori) sono proposizioni molecolari traducibili in proposizioni metalinguistiche.

Ad es. “Tutti gli uomini sono mortali” è traducibile in “(x è un uomo) implica (x è mortale)

Invece “Alcuni uomini sono biondi” è traducibile in “(x è un uomo) vel (x è mortale)

Ogni funtore implica la traducibilità di una proposizione del linguaggio-oggetto in una proposizione del metalinguaggio.

Ad es. (Np)  = “p” è falsa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


7 aprile 2011

Illogica logica : variabili libere e vincolate, variabili reali e apparenti

Malatesta dice che in “x è studente” la x è una variabile reale, perché si tratta di una vera variabile, ed è una variabile libera perché si comporta come la valenza non satura di un elemento chimico.

Invece in una funzione proposizionale preceduta da quantificatori, la x è una variabile apparente, perché in questo caso abbiamo a che fare con espressioni sature, ed è una variabile vincolata, perché la variabile è legata dal quantificatore che trasforma la funzione enunciativa in un enunciato.

 

 

In realtà, si può descrivere ed individuare tale differenza solo se è precisato l’ambito di variabilità della funzione proposizionale.

Nel caso specifico del quantificatore particolare, la possibilità di costruire un enunciato vero e proprio dipende da una verifica ad hoc : nel caso degli operai della Indesit di Trani solo una verifica empirica può stabilire se almeno uno di loro sia studente o meno. In questo caso non solo si deve specificare l’ambito di variabilità, ma tale ambito deve essere descritto preventivamente nei dettagli.

In realtà la variabile si concretizza nella storia della scienza come incognita e cioè come valore numerico oppure oggetto ignoto all’interno di un campo di variabilità. E questo perché essa nasce come nozione all’interno di un discorso di ricerca, cioè all’interno di una intersezione tra ambito ontologico ed ambito epistemico : all’interno di un insieme dato non si conosce l’elemento che ha una data proprietà.

Perciò la variabile non è mai assolutamente libera a meno che l’ambito di variabilità non sia l’intero universo di discorso, quello che metafisicamente viene designato come Essere.

[Metafisicamente si direbbe che l’apparire della Totalità dell’Essere fa sparire il particolare

“Tutti gli x” non è una variabile apparente, ma un oggetto vero e proprio, in quanto denota l’ambito di variabilità preventivamente definito (in maniera implicita o esplicita). La variabile è solo una parte del soggetto logico di una proposizione. Ed è in qualche modo vanificata dal quantificatore universale, in quanto la variabile si ha solo quando il soggetto logico è un sottoinsieme dell’ambito di variabilità : è la differenza tra soggetto logico e ambito di variabilità a generare la variabilità stessa. Se questa differenza non sussiste più in quanto il soggetto logico è l’insieme costituente l’ambito di variabilità, allora la variabilità stessa non sussiste più, è assorbita dall’insieme che la contiene. Naturalmente questo vale solo se il predicato è implicato dalla proprietà comune che denota l’insieme che costituisce l’ambito di variabilità della funzione proposizionale.

Anche nel caso del quantificatore particolare se la funzione ha un ambito di variabilità esplicito e se si predica il soggetto logico della proprietà comune all’ambito di variabilità, allora è possibile formulare un enunciato che sia passibile di verità o di falsità. Ad es. se, dato x = abitante di Napoli,  degli abitanti di Napoli si dice che “Alcuni abitanti di Napoli sono domiciliati in Italia”, beh questo è un enunciato ed è vero. Ma se la proprietà attribuita ad alcuni abitanti di Napoli non è compresa nella proprietà che li definisce in quanto tali, allora il quantificatore particolare vincola la variabile solo all’ambito di variabilità, ma non la rende apparente. Ad es. se x = abitante di Napoli, “Alcuni abitanti di Napoli sono biondi” va verificata empiricamente  e dunque l’enunciato è vero o falso a seconda di come la variabile sarà saturata e tale saturazione non è predefinita dalla preventiva costituzione dell’ambito di variabilità.

In sintesi si può dire che i quantificatori trasformano una funzione proposizionale in un enunciato e parallelamente una variabile libera in una variabile vincolata se e solo se sia definito l’ambito di variabilità della funzione proposizionale e se l’enunciato verta su di un predicato che venga implicato dalla proprietà che denota l’insieme che costituisce l’ambito di variabilità della funzione proposizionale. Nel caso l’enunciato verta su di un altro predicato non implicato dalla proprietà comune all’ambito di variabilità suddetto, la trasformazione di una funzione proposizionale in un enunciato vero e proprio è subordinata ad una verifica individuale per ogni elemento dell’insieme che costituisca l’ambito di variabilità della funzione proposizionale

Ancora si può affermare che dal punto di vista ontologico anche “x è uno studente” è un enunciato, in quanto quale che sia l’oggetto che satura la funzione, l’enunciato è o vero o falso (tertium non datur).

Dal punto di vista epistemico, vale quanto si è detto sopra. Anche per il quantificatore universale, il tutto dipende dall’ambito di variabilità della funzione proposizionale.

 

Sarebbe poi interessante riflettere filosoficamente su cosa implica dal punto di vista ontologico il fatto che si delimiti preventivamente l’ambito di variabilità della funzione proposizionale. Da un punto di vista storico tale delimitazione ha una funzione metodologica e ricognitiva (come un archeologo che traccia uno steccato intorno alla zona nella quale deve scavare).Ma, a parte le finalità pragmatiche, quali sono le condizioni di possibilità di queste pratiche ?

Qui ci troviamo di fronte ad una fenomenologia, cioè il darsi dei fenomeni all’interno di un orizzonte, fenomenologia che si sviluppa in una filosofia della prassi, prassi che consiste nelle molteplici pratiche che conferiscono senso all’interno dell’orizzonte fenomenologico, che è ormai diventato orizzonte storico-ermeneutico, fusione dei diversi orizzonti fenomenologici. Contemporaneamente ogni individuo riflette metafisicamente sulle condizioni di possibilità delle pratiche epistemiche. Tale riflessione genera nuovi modelli di pratiche che ampliano ed arricchiscono l’orizzonte storico-ermeneutico.

 

 

 

 

 

 

 

 


6 aprile 2011

Illogica logica : funzione proposizionale e quantificatore particolare

Malatesta dice che “Per qualche x, x è studente” è un enunciato che significa “alcune cose sono studenti” e l’espressione è indubbiamente vera e perciò è un enunciato.

 

 

 

Anche nel caso del quantificatore particolare, la funzione proposizionale potrebbe essere falsa ed il suo valore di verità dipende dall’insieme che costituisce l’ambito di variabilità della funzione proposizionale stessa (sarebbe falsa infatti, se le x hanno come ambito di variabilità un insieme di operai di una fabbrica, cioè se “x” si intende “operaio della Indesit di Fabriano” e se nessun operaio della Indesit di Fabriano ha continuato gli studi).

 

 


5 aprile 2011

Illogica logica : funzione proposizionale e quantificatore universale

Malatesta dice che “Per ogni x, x è studente” è un enunciato che significa “tutte le cose sono studenti”. L’espressione in questo caso è indubbiamente falsa ed è quindi un enunciato.

 

 

 

In realtà, per stabilire che sia vera o falsa e per trasformarla dunque in enunciato, bisogna prima individuare l’insieme che costituisce l’ambito di variabilità della funzione proposizionale.

Malatesta intende “x” come “cosa”, ma in realtà potrebbe significare “uomo” oppure “ragazzo” oppure “ persona presente in questa classe così e così”.

Altro è dire che la variabilità può essere costituita all’interno di un insieme numeroso quanto si vuole (e dunque anche infinito), altro è dire che in un caso concreto, l’ambito di variabilità sia sempre massimo.

Per cui sarebbe il caso di trasformare il suddetto enunciato in “Per ogni x, (x è una cosa) implica (x è uno studente)

 


4 aprile 2011

Illogica logica : funzione proposizionale e quantificatore

Malatesta dice che una funzione proposizionale diventa vera o falsa anche quando si prepone ad essa un quantificatore.

 

 

Facciamo due esempi “Tutti gli x sono uomini” e “Alcuni x sono uomini”.

Con enunciati come questo in realtà la situazione non cambia. Essa dipende da quale sia l’ambito di variabilità o meglio dagli elementi dell’insieme che costituisce l’ambito di variabilità della funzione proposizionale.

Nel primo caso, cioè quando si usa il quantificatore universale, si può così descrivere una o più proprietà comuni a tutti gli elementi dell’insieme che costituisce l’ambito di variabilità della funzione proposizionale. Facciamo l’esempio di Hercule Poirot che cerca l’assassino all’interno dei clienti di un certo hotel in un determinato giorno. Egli può dire che “Tutti gli x sono francesi”, in quanto l’ambito di variabilità della funzione proposizionale è l’insieme di tutti i clienti di quell’hotel in quel determinato giorno, e se questi sono tutti francesi la funzione proposizionale è vera. Tuttavia, nel caso di Poirot, al di fuori dell'enunciato suddetto, per x si intende l’assassino che viene cercato.

In genere si può dire che designiamo con una variabile un individuo di cui conosciamo una descrizione e cioè una funzione che svolge o meglio una o più relazioni di cui è un termine. In base ad almeno una di queste proprietà si costituisce un dominio che risulta essere l’ambito di variabilità delle funzioni proposizionali che hanno la variabile come soggetto logico.

Quando si antepone il quantificatore universale il soggetto logico non è più la variabile, ma l’insieme, la classe che costituisce l’ambito di variabilità della funzione proposizionale.

Quando si antepone il quantificatore esistenziale invece il soggetto logico è un sottoinsieme fuzzy dell’insieme che costituisce l’ambito di variabilità della funzione proposizionale.

E del resto la variabile stessa è tale da essere un sottoinsieme unario fuzzy.

Il carattere fuzzy dei sottoinsiemi di un insieme è il correlato logico della costituzione di una variabile.

La costituzione di una variabile si ha quando si cerca un individuo che svolga una funzione all’interno di un insieme. Ad es. “Chi è stato l’assassino tra i presenti?”. E’ dunque necessario selezionare un insieme di individui che hanno una proprietà comune ed individuare all’interno di quest’insieme uno o più sottoinsiemi unari che abbiano una proprietà specifica, oppure una o più proprietà che siano comuni ad almeno due sottoinsiemi unari.

La costituzione di una variabile implica l’incrocio tra una dimensione ontologica ed una epistemica. La dimensione ontologica riguarda l’ambito di variabilità di una funzione proposizionale che costituisce un insieme che si cerca di precostituire e che dunque si può considerare come dato.

La dimensione epistemica riguarda invece l’individuazione dei sottoinsiemi che abbiano proprietà che non siano comuni a tutti gli elementi dell’insieme dato. Ad es. “Chi è stato l’assassino tra i presenti?” oppure “Chi possiede una pistola tra i presenti?”.

 


14 marzo 2011

Teoria : dall'assenza del segno al segno dell'assenza

A questo proposito è necessario fare una premessa relativa proprio a quel livello segnico di cui Frege a volte trascura l’importanza ai fini della descrizione ontologica del livello semantico. Ci dobbiamo cioè domandare perché nella scrittura matematica si inseriscano simboli come “x” oppure “0” e dobbiamo anche domandarci perché non si lasci in certi casi uno spazio vuoto, come ha cercato di fare probabilmente senza successo Frege con quella ultima espressione usata proprio per designare la funzione.

Nella storia della notazione numerica quello dello spazio vuoto (soprattutto nel sistema posizionale) si è rivelato essere un vero e proprio problema in quanto l’ampiezza di tale spazio poteva essere variabile e dunque portare all’errore il lettore del testo. Mentre una cifra, quale che sia la sua dimensione, aveva un senso abbastanza ben definibile, lo spazio poteva si segnalare l’assenza di un numero, ma poteva segnalarne anche l’assenza di due o di nessuno.

 

 

Questo problema di percezione e di lettura va filosoficamente valorizzato.  Esso ci porta a riflettere sulla natura filosofica del concetto di assenza e sui suoi presupposti. Mentre un oggetto rimanda ad un concetto solo ad un livello superiore di riflessione, l’assenza di un oggetto sembra rivelarsi già al livello del concetto (questa è una delle ragioni del carattere dialettico della negazione). E questo forse si può collegare al fatto che un enunciato negativo possa essere considerato a prima vista già molecolare o quanto meno caratterizzato da una funtore, mentre un enunciato privo di negazione ha bisogno della forzatura del segno di asserzione inventato dallo stesso Frege per alludere alla sua dimensione pragmatica o meta-linguistica.

L’assenza si rivela essere una realtà complessa, descrivibile come uno stato di cose che risulta implicitamente dalla sussistenza di altri stati di cose assolutamente irrilevanti dal punto di vista semantico per l’enunciato che denota l’assenza stessa. Ad es. quando noi diciamo “non c’è il sale” alludiamo ad un contesto definito (ad es. una cucina o una credenza) in cui c’è un contenitore vuoto, altri oggetti a cui non si allude proprio nell’enunciato in oggetto. L’assenza diventa la relazione tra un oggetto intenzionato dalla memoria o l’immaginazione ed un contesto percettivo in cui non sia situato un oggetto analogo o simile a quello intenzionato (Sartre ha dato una descrizione fenomenologica molto pregnante di questa situazione).

Tornando ai simboli della notazione numerica lo spazio vuoto della scrittura in quanto tale non riesce nell’intento di designare una assenza  perché lo sguardo scandisce la propria attenzione grazie ad oggetti o a segni e dunque presuppone una presenza che un semplice spazio vuoto non riesce a determinare. Inoltre l’assenza, essendo sempre concettuale e relativa ad un oggetto comunque determinato, è sempre assenza all’interno di un livello o di una cornice (nel caso del sistema posizionale è l’assenza di un numero ad un dato livello posizionale, ad un dato ordine numerico) ed uno spazio vuoto non riesce ad essere utile per designare i diversi livelli posizionali della numerazione. Questa fu la causa per cui alla fine, per designare l’assenza di qualcosa, fu necessario individuare un segno specifico : lo zero.

Alcune teorie sulla genesi di questa cifra rendono la vicenda molto più interessante e significativa. Probabilmente lo zero, nella sua rappresentazione simbolica (0), era inizialmente la rappresentazione di un contenente, di un livello vuoto. Per rappresentare l’assenza era necessario dunque rappresentare il contesto nel quale un determinato oggetto era assente. Paradossalmente questo insieme vuoto, questo contenente senza oggetto divenne il segno dell’assenza stessa dell’oggetto in questione. La rappresentazione dell’assenza di un numero intesa come livello posizionale vuoto divenne lo zero.

Cosa succede però quando viene inventato ed utilizzato un segno ? Succede, se non si vuole negare la funzione designativa del segno, che a questo segno viene correlato semanticamente un oggetto. Perciò l’assenza di un oggetto divenne, magari ad un livello diverso, un oggetto con delle sue specifiche proprietà. Molti filosofi empiristi, positivisti, analisti del linguaggio considerano questa operazione mistificatoria e tale da originare le illusioni della metafisica e di molta filosofia. Eppure nonostante molti tentativi di tipo riduzionistico, l’uso designativo di simboli come lo zero, sia pure con possibili conseguenze metafisiche, è risultato utile nella storia della matematica, anche se è una questione ancora aperta se la sua utilità sia idealmente una necessità.

 


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