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10 giugno 2011

Conto e racconto : notazione ellenistica o notazione ebraica ?

Ebrei hanno influenzato Greci o viceversa?

Sarà il caso di precisare prima che l’antenato comune è sicuramente la scrittura ieratica egizia.

311-310 a.C. papiro greco di Elefantina.

286-246 a.C. monete di Tolomeo II Filadelfo

78 a.C. monete della dinastia asmonea in Israele.

Nel contempo alcuni hanno notato che numerosi brani dell’Antico Testamento indicano che i loro estensori erano versati nell’arte di cifrare le parole per mezzo dei valori numerici delle lettere ebraiche. A questo punto o l’utilizzo dei numeri con le lettere più antico risale all’ VIII-VI secolo a.C. o i testi biblici sono meno antichi di quanto si pensasse.

Comunque è indubitabile la comune ascendenza egizia.

 

La numerazione alfabetica greco-ebraica ebbe nel Mediterraneo orientale il ruolo che la numerazione latina ebbe nel Mediterraneo Occidentale.

Tale numerazione ha comportato un valore numerico per ogni parola o gruppo di parole.

Poi ha incoraggiato quella pratica poetica, mistica e religiosa che viene chiamata isopsefìa presso gli Gnostici greci e ghematrìa presso i Cabalisti ebraici.

Anche se il collegamento tra scrittura e notazione numerica è molto più antico:

bullet Presso i Sumeri molti dei erano collegati ad un numero (Anu al 60, Enlil al 50, Ea al 40, Sin al 30, Samas al 20, Ishtar al 15)
bullet Sargon il re assiro riteneva che 16.283 fosse il numero del suo nome (epigrafe del VII sec. a.C. a Khorsabad)
bullet Il compilatore di una tavoletta babilonese si firmava 21-35-35-26-44.
bullet In greco  Svetonio evidenzia l’equivalenza tra il nome Nerone e la frase “egli uccise la propria madre”
bullet 300 (Tau = Croce) + 18 (ΙΗ = prime lettere di Iesus) + 31 (anni di Cristo) + 16 (anno del regno di Tiberio coincidente con la Crocifissione) = 365 = Fine del mondo.
bullet 17 in cifre romane (XVII) anagrammato diventa VIXI (ho vissuto, vissi) e cioè “sono morto”
bullet 666 = Lateinos – Diocles Augustus – Qsar Neron – Luther(nuc) – Vicarius Filii Dei
bullet Un principe medievale con il nome che assommava a 284 cercava sposa il cui nome assommasse a 220 in quanto 284 e 220 sono numeri amichevoli cioè numeri i cui divisori sommati riproducono l’altro numero (divisori di 220 sommati 1+2+4+5+10+11+20+44+55+110= 284  mentre divisori di 284 sommati 1+2+4+ 71+142= 220)

 

Nel I sec. d.C. il poeta Leonida di Alessandria versifica distici ed epigrammi isopsefi (nel distico la somma dei valori del primo verso doveva essere uguale alla somma dei valori del secondo verso).

Tale parallelismo lettera/numero si ripercuote anche nelle somiglianze in diverse lingue tra termini quali “conta, contare” e termini come “racconto, raccontare”

Italiano               Contare            Raccontare

Tedesco            Zahlen              Erzahlen

Francese            Conter             Conter

Ebraico            Saphor             Saper

Cinese              Shu                  Xushu

 

 

Presso gli Arabi invece erano diffusi i cronogrammi per fare commemorazioni.

Es. Anno del distacco di Ahmed ibn Ali ibn Abdallah, eroe del Nord-Ovest marocchino dal potere alawita = 1335. 1335 diventa 94+331+90+761+59 e cioè “Maometto salva il mondo dalla miscredenza”.

 

Si sviluppa in tal modo la numerologia, metodo di interpretazione /previsione/speculazione magica.

Esempi:

 

Gli alfabeti cifrati furono anche conseguenza di questa pratica.

 

La numerazione alfabetica risolse in parte il problema delle cifre.

Ad es. 768 si poteva scrivere in 3 cifre piuttosto che in 21

 rimanendo fermi però ad un principio additivo che limitava le possibilità della numerazione scritta.

 


9 giugno 2011

Conto e racconto : la notazione numerica alfabetica dei Greci

 Greci invece nel IV-V sec. a.C. presero le 24 lettere dell’alfabeto a cui aggiunsero Digamma, San e Koppa (origine fenicia) e dunque costituirono 27 segni (3x9)

9 per le unità

9 per le decine

9 per le centinaia

Questo sistema sostituì progressivamente quello acrofonico erodiano di cui abbiamo già parlato precedentemente.

Es. 645= ΧΜΕ (600+40+5)

Il principio è sempre additivo e non posizionale.

Infatti mentre in 645 il simbolo 6 sarebbe lo stesso anche se cambiasse di posto con il 4 (465)

Nella notazione greca da Χ si trasformerebbe in Ξ (ΤΞΕ) perché non sarebbe più 600 ma 60, differenza che nel sistema posizionale non ha conseguenze grafiche.

Per distinguere le lettere dalle cifre, queste ultime sono rappresentate con un tratto orizzontale soprastante.

Da 1000 a 9000 sono usate le lettere significanti da 1 a 9 aggiungendo un apostrofo a sinistra (Boyer interpreta generosamente questo metodo come un inizio di posizionalità)

Questa consuetudine fu anch’essa  mutuata probabilmente dallo ieratico egizio.

E’ bene ricordare che l’influenza della matematica egizia su quella greca riguardò oltre la notazione numerica anche l’elaborazione di progressioni geometriche con frazioni unitarie sempre più piccole che forse ispirarono i famosi paradossi di Zenone.

 


8 giugno 2011

Conto e racconto : la notazione numerica ebraica

Anche gli scribi israelitici ed i matematici greci si dotarono di notazioni numeriche equivalenti allo ieratico egizio, ma utilizzarono le lettere (in ordine consecutivo) dei rispettivi alfabeti.

 

L’alfabeto fu l’ultimo perfezionamento della scrittura adattabile ad ogni inflessione di ogni lingua articolata e dava la possibilità di scrivere tutte le parole con un piccolo numero di segni fonetici (lettere).

Esso fu opera dei Fenici, commercianti spinti da un bisogno comprensibile di concisione.

Il commercio diede diffusione al loro sistema:

sulle coste mediterranee (Greco, Latino, Etrusco)

a sud ( Moabiti, Ebrei, Nabatei )

a est ( Aramei, Siria, Persia, India)

 

Ci fu dunque  un tentativo di sovrapporre ordine alfabetico ed ordine numerico.

Ebrei usarono numerazione alfabetica

Per le date del calendario

Per i paragrafi dell’Antico Testamento

Per le pagine delle opere scritte

 

                      

Ebraico

352= beth+nun+sin (2+50+300)

C’era un tabù sui numeri 15 e 16

Infatti essi non erano raffigurati tramite yod+he (10+5) e yod+waw (10+6)

Questo perché yod+he+waw+he (JHWH) era il nome di Dio, che era pregno di energia e quindi tabù.

Per 15 e 16 si utilizzavano

Waw+teth (6+9)  e   zain+teth (7+9)

Questo fu uno dei primi esempi di operazione casuale non costituita sulle basi numeriche solite.

Per distinguere i numeri dalle lettere, si metteva sulla lettera che significava il numero un piccolo puntino o un apostrofo, oppure una linea su gruppi di lettere o un doppio apostrofo a sinistra della lettera (virgolette?)

Inoltre per i numeri da 400 in poi si combinava Tav (400) con centinaia già note.

Oppure

Si utilizzava, come faceva la Kabbalah, Kaf (20) Mem (40) Nun (50) Pe (80) Sade (90) con al termine un particolare modificato.

Per le migliaia si mettevano su ogni lettera due punti (x1000) fino a 999.999.

 


7 giugno 2011

Conto e racconto : la scrittura ieratica egizia

La scrittura geroglifica egizia attribuiva cifre specifiche ad 1, a 10 ed alle potenze di 10, e poi le ripeteva tante volte quanto era necessario.

1-10-100-1000-10.000-100.000-1.000.000 etc.

 

Gli egizi dunque avevano come punto di riferimento gli ordini numerici:

Simbolizzando gli ordini in diversi modi (girino, spirale etc.) essi non avevano bisogno dello zero ma dovevano ripetere i simboli dei vari ordini fino a 9 volte ciascuno.

Ad es. 9.999.999 (7 segni nella nostra notazione) esigeva fino a 63 grafismi

Nella moderna notazione numerica il riferimento invece sono le cifre da 0 a 9 e le posizioni.

 

Dunque il fare a meno dello “0” costringe ad utilizzare simboli diversi per le diverse potenze (ordini) o quanto meno a porsi il problema dello spazio vuoto, cioè di come denotare la vuotezza di un certo ordine, di un certo livello numerico (come ad es. nel numero 101).

Sull’abaco era possibile uno spazio vuoto;

nella scrittura invece è tutto più ambiguo (quanto deve essere largo uno spazio vuoto? Quanto è riproducibile in una sequenza senza fare confusione? Gli Antichi avevano forse i nostri quaderni  a quadretti o le barre spaziatrici di una tastiera?).

 

Per risparmiare tempo gli Egizi elaborarono la scrittura ieratica e cioè un sistema, comunque additivo, di segni stilizzati  al massimo con piccoli tocchi rapidi o una sola pennellata.

La stilizzazione comporta il fatto che i segni siano avulsi da ogni intuizione visiva diretta ed eseguibili senza staccare il pennello:

i particolari figurati sono meno numerosi

i contorni sono ridotti all’essenziale

la somiglianza con i prototipi sempre più vaga

la possibilità di morfismi sempre più alta

In questo modo si perde il rapporto con la rappresentazione

Tale notazione ieratica (con la numerazione decimale e le cifre per i numeri da 1 a 9 e per le potenze di 10) era già utilizzata nel papiro di Ahmes; inizialmente essa era la stilizzazione degli ordini numerici geroglifici più l’accorpamento sempre stilizzato delle molteplicità interne ad ogni ordine numerico.

Alla fine nel suo pieno sviluppo tale notazione contava

9 segni per unità semplici

9 segni per le decine

9 segni per le centinaia

9 segni per le migliaia

36 segni (difficili da ricordare)

invece dei 7-8 geroglifici

invece dei 10 segni nostri

Ma che consentivano di scrivere (in ordine inverso) 3577 con 4 cifre ( 7-70-500-3000) invece che in 22 come nel geroglifico ( 7x1-7x10-5x100-3x1000).

 


6 giugno 2011

Conto e racconto : tecnica per intaglio e numerazione latina

L’intaglio doveva affrontare il problema delle percepibilità diretta dei numeri fino a 4, per cui il 5 abbisognava di un altro simbolo. Il pastore ad es. era in difficoltà percettiva dopo la quarta tacca ed era costretto a ricontare astrattamente.

Modificando l’aspetto della tacca ogni potenza di 5 e di 10 con uno sguardo sulla serie di tacche comunque si tiene la situazione sotto controllo.

IIIIVIIIIXIIIIVIIIIX….

IIIIVIIIIXIIIIXVIIIIXXIIIIXXVIIIIXXXIIIIXXXVIIIIXXXX……

 

All’inizio trattino per essere differenziato viene inclinato IIII\

Oppure si aggiunge un altro trattino a quello già esistente con diversi orientamenti

V Λ <  >  Y ?  etc.

Dopo altri 4 segni, nuovo segno (spesso anche graficamente doppio del 5)

Dopo altri 4 segni altro V differente dal primo perché successivo al X

Al ripetersi 5volte di V e X ci vuole altro segno per 50 (es. L)

In questo modo con uno sguardo il pastore discerne insiemi di 50, 100 segni senza doverli contare ad uno ad uno.

tacche particolari usate come leve

Da ciò sistema decimale con 5 come base ausiliaria (come sistema latino).

Si può pensare anche a basi alternate 2 e 5.

 

 

 

Esempio:

1

5

10        2x5

50     2x5x5          

100   2x5x5x2      

500      2x5x5x2x5

1000      2x5x5x2x5x2

5000      2x5x5x2x5x2x5

Nella tecnica primitiva di computo per intaglio

39 manzi era così descritto:

IIIIVIIIIXIIIIVIIIIXIIIIVIIIIXIIIIVIIII

      5      10    15    20    25    30    35    39

 

Tale notazione cardinale era molto scomoda anche se non ci costringe a memorizzare, in quanto ci espone fortemente alla confusione percettiva.

Dunque si passò alla notazione ordinale in cui si passa da

I     II    III    IIII

a

IIII

Dove il numero è in sé una totalità che riassume in sé i momenti che l’ hanno costituita, ha in sé la memoria della sua autocostituzione.

 

Il fatto che la numerazione greco-latina sia derivata dalle tecniche della numerazione per intaglio è indirettamente provato dal fatto che popoli più primitivi dei Romani (Dalmati, Tirolesi, Germano-Scandinavi) sono pervenuti autonomamente ai principi della numerazione latina (es. principio sottrattivo era presente pure presso gli Etruschi) 

Indiani Zuni: 1= I (tacca)    5= V     10= X      Gli stessi segni!!!

 

Comunque forse il principio sottrattivo ha facilitato l’invenzione dell’algebra ed anche quello della cronometria ( le cinque meno un quarto…)

 

In latino computo/conto è ratio.

Ratio come logos vuol dire rapporto, comparazione come ad es. tra pecore e sassi.

Pensare è rationem  putare. Putare è fare una tacca, tagliare.

Rationem putare  è istituire un rapporto con una cosa facendo una tacca sul legno (analogia già ben nota tra la mente ed una lama).

 

Le notazioni numeriche romano-medievali invece erano complicate e compromettevano l’effetto originario (economia di simboli) del principio additivo.

Il sistema latino, ricorrendo a più principi, più basi, a più convenzioni perse di coesione e finì per precludersi molte possibilità operatorie, risultando essere alla fine una regressione.


1 giugno 2011

Conto e racconto : l'occhio di Horus e il calcolo

L’esistenza di divisioni con soluzioni non intere (in pratica con il resto) portò alla scoperta dei numeri frazionari che in Egitto rimasero, tranne alcune eccezioni, frazioni unitarie (1/2, 1/8, etc.)

Alcuni reperti rimastici contengono appunto tabelle di riduzione di frazioni in frazioni unitarie, forse perché queste erano funzionali agli obiettivi di distribuzione delle risorse. Simbolo stupendo della riduzione a frazioni unitarie è l’occhio di Horus (frantumato da Seth in un duello teogonico) che si chiama ujat e cioè “sanato, reintegrato” e che è la somma di ½+1/4+1/8+1/16+1/32/+1/64…

Manca ancora 1/64 che viene magicamente aggiunto da Thoth, quasi a completare ciò che l’uomo da solo non può ricostruire (questo metodo ed alcune progressioni già conosciute dagli Egizi fanno pensare che lo stesso paradosso di Zenone abbia preso ispirazione dalla terra del Nilo). Il termine che sta per frazione è rappresentato dall’ideogramma della bocca (r’) che indica proprio la fenditura, la separazione, la scissione, la divisione. Frazioni speciali erano 2/3, ¼ e ½ che avevano speciali ideogrammi (2/3 aveva un ruolo fondamentale nel calcolare le frazioni unitarie di un intero).

 http://www.youtube.com/watch?v=-1IXQ1pKl_Q

Dunque la matematica egiziana sarebbe fatta di poche abilità di base (duplicazione, 2/3) e stringhe di algoritmi memorizzate. Gli Egizi tuttavia sapevano elevare al quadrato, estrarre radici calcolare superfici, usavano rudimentali funzioni trigonometriche per calcolare le pendenze, si approssimavano all’area del cerchio, a quella del tronco di piramide e si sospetta anche a quella di un’emisfero (più di 1000 anni prima di Archimede).

Comunque l’apparenza rozza della matematica egizia può ben essere spiegata con la scarsità di materiale archeologico (il papiro è facilmente deperibile) e con il fatto che in tutto il Vicino Oriente dal 1600 a.C. all’800 a.C. circa vi è stato un periodo di forte involuzione culturale, tanto che lo stesso estensore del papiro di Ahmes (fonte principale per quanto riguarda la matematica egizia) ha fatto risalire il suo sapere a più di un secolo prima se non ad Imhotep stesso.


30 maggio 2011

Conto e racconto : la numerazione per intaglio

L’intaglio doveva affrontare il problema delle percepibilità diretta dei numeri fino a 4, per cui il 5 abbisognava di un altro simbolo. Il pastore ad es. era in difficoltà percettiva dopo la quarta tacca ed era costretto a ricontare astrattamente.

Modificando l’aspetto della tacca ogni potenza di 5 e di 10 con uno sguardo sulla serie di tacche comunque si tiene la situazione sotto controllo.

IIIIVIIIIXIIIIVIIIIX….

IIIIVIIIIXIIIIXVIIIIXXIIIIXXVIIIIXXXIIIIXXXVIIIIXXXX……

 

All’inizio trattino per essere differenziato viene inclinato IIII\

Oppure si aggiunge un altro trattino a quello già esistente con diversi orientamenti

V Λ <  >  Y ?  etc.

Dopo altri 4 segni, nuovo segno (spesso anche graficamente doppio del 5)

Dopo altri 4 segni altro V differente dal primo perché successivo al X

Al ripetersi 5volte di V e X ci vuole altro segno per 50 (es. L)

In questo modo con uno sguardo il pastore discerne insiemi di 50, 100 segni senza doverli contare ad uno ad uno.

tacche particolari usate come leve

Da ciò sistema decimale con 5 come base ausiliaria (come sistema latino).

Si può pensare anche a basi alternate 2 e 5.

 

 

 

Esempio:

1

5

10        2x5

50     2x5x5          

100   2x5x5x2      

500      2x5x5x2x5

1000      2x5x5x2x5x2

5000      2x5x5x2x5x2x5


27 maggio 2011

Conto e racconto : i limiti della numerazione greca e di quella latina

Così pure con le cifre romane ad es.

  232+                                           M D C C C   L              I I

  413+                                           M        C C      X X X      I

1231+                                                    C C C C          X   I  I  I

1852 =                                                          C C  X X X      I  I

-------                                          ------------------------------------

3728                                      M M M D       C  C     X X  V  III

 

il calcolo in questo contesto non è impossibile, ma molto complicato è il riporto, le sostituzioni e gli spazi vuoti.

 

I numeri romani in realtà (originati dall’intaglio) non erano segni per fare operazioni ma semplici abbreviazioni per esprimere e ricordare numeri, mentre il calcolo vero e proprio è svolto da uno strumento esteriore.

Nelle cifre latine vi è il principio additivo, ma anche il principio sottrattivo, per cui l’operazione è implicita nella cifra stessa (quasi come i numeri negativi).

Per Ifrah invece giustamente il sistema è inutilmente complicato, concettualmente arcaico, inadatto per le operazioni. Egli però sostiene che l’uso contemporaneo di principio additivo e sottrattivo sia contraddittorio, ma tale opinione è ingiustificata.

In realtà il principio sottrattivo è facilitato dalla presenza della base ausiliaria 5 che rende meno distanti tra loro le scansioni della conta e dunque incoraggia sia le notazioni additive (VI; VII) che quelle sottrattive (IV,IX).

 

I     V     X     L     C     D     M

 

 

Prima

 

1= ½

5= V (mano. Albero)

10= X (2mani opposte speculari. Albero rovesciato)

50= W ( V con I al centro. 5x10)

100= ? ( X con I al centro 10x10)

500= ý (arco orientato a sud-est con angolo piatto alla sua base (fase lunisolare)

1000 = U = (cerchio/angolo giro/ città/ sole)

Tutti questi segni con diversi possibili morfismi…

 


26 maggio 2011

Conto e racconto : la numerazione greca

Grecia

Epoca omerica

1= · ( ½ [cerchietto,archetto, trattino]

10= ¾ o (trattino orizzontale, cerchietto più grande)

100= ?

1000= Ψ (albero)

10.000= C (capanna) (dall’Egizio?)

7699= i sistemi additivi sono costretti ad usare 31 simboli

9(1)+9(10)+6(100)+7(1000)

Il problema era la smisurata ripetizione di segni identici.

Nel VI sec. a.C. ci fu una sostanziale semplificazione della notazione europea.

Cifre speciali per 5-50-500-5000    base 5 ausiliaria per supportare la base 10

 

Inoltre fu usato il metodo dell’acrofonia e cioè quello di utilizzare come segno di un numero l’iniziale del nome del numero stesso. In questo modo si andò oltre l’ideogramma.

 

1= ½                                                                                base 10 e multipli

5=  ? = Pi = Pente                                                        base ausiliare 5 e multipli

10=Δ = Deka

50= ( forca con triangolo appeso all’interno) Pentedeka (pente x deka)

100=   Η = Hekaton

500= (forca con h al bordo) = Pentehekaton

1000= Χ = Chilioi

5000= (forca con x all’interno) = Pentechilioi

10.000= M = Murioi

50.000= Pentemurioi

 

Così 7699= 1(5000) 2(1000) 1(500) 1(100) 1(50) 4(10) 1(5) 4(1)

15 segni e non più 31

Tale evoluzione però alleggeriva la notazione, ma era un regresso per quel che riguardava il calcolo:

infatti inserendo cifre speciali supplementari all’unità e ad ogni potenza della sua base, si diminuirono le possibilità operatorie (resti e riporti sottostavano a più regole) e ci si costrinse al ricorso di tavole per contare e abachi (supporto esterno).


25 maggio 2011

Conto e racconto : la numerazione azteca

Aztechi con scrittura figurativa, compromesso stile rebus tra notazione pittografica e notazione fonetica es. città ITZTLAN = ITZTLI (lama, ossidiana) + TLAN (dente)

Numerazione azteca su base 20

1= cerchietto

20= ascia (div. in 2) tw. Twenty. Forse per derivazione da 2.

400= (20x20) / (il simbolo è più precisamente una sorta di freccia con più punte a diverse parti del fusto a rappresentare una pianta con più rami, tipo abete). Tale simbolo forse non a caso rende benissimo l’elevazione a potenza e il principio di autoduplicazione dei frattali.

8000 = (20x20x20)= borsa con granaglie (rende l’idea dell’insieme provvisto di un sacco di elementi. Ricordate la bottiglia piena di fagioli di Raffaella Carrà? Ecco!)

 

http://www.youtube.com/watch?v=BIlz_rwkLTI&feature=related

Tranne per la base vigesimale comunque la numerazione azteca è simile a quella egizia, cretese ed ittita.

Popoli lontani, cronologicamente e geograficamente, grazie ad identiche condizioni materiali di base hanno sviluppato sistemi numerici simili (quasi a suggerire una legge storica che ad identici problemi materiali ed identiche condizioni di base corrispondono identiche risposte culturali), basati su principio additivo

Equivalenza tra valore numerico dei simboli (cifre) utilizzati e valore numerico sottostante.

es. 1464 in Egizio è 1bambù-4spirali-6anse-4trattini.


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