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2 maggio 2011

Conto e racconto : divisioni babilonesi

La matematica in Mesopotamia era strumento di conoscenza e di potere (costruzione edifici, riscossioni imposte, calcolo interessi, computo del tempo e regolazione delle attività agricole). Essa non era oggetto di libera discussione, ma applicazione della regola, anche se i problemi matematici avevano didatticamente dei momenti ludici che fanno pensare ad un embrione di interesse teorico vero e proprio.

Nelle tavolette di Shuruppak del 2650 a.C. troviamo anche un’operazione complessa di divisione, molto complicata dato il tipo di sistema di notazione numerico usato, poco adatto alle operazioni sulle varie quantità numeriche.

Il problema trattato è pressappoco questo:

dato che ogni uomo ha una razione di sette dosi d’orzo, quanti uomini possono ricevere tale razione a partire da un ammontare di 1.152.000 dosi d’orzo?

Sull’altro lato delle tavolette c’è la soluzione ma non c’è una procedura algoritmica vera e propria che in quanto tale può solo essere inferita. Il procedimento utilizzava i gettoni a cui si è già accennato:

I solutori hanno utilizzato prima le sfere perforate ognuna delle quali valeva 36000 unità e le hanno sommate ordinandole in gruppi di sette ottenendo 4 colonne + 4sfere perforate (il resto).

Per ridurre le 4 sfere perforate sono state utilizzate le sfere semplici, ognuna delle quali valeva 3600 unità, che si sono sommate in gruppi di 7 ottenendo 5 colonne + 5 sfere semplici (resto).

Per ridurre le 5 sfere semplici rimaste si sono addizionati in gruppi di 7 i coni perforati (600 unità ognuno) con il risultato di 4 colonne + 2 coni perforati (resto).

Per ridurre i due coni perforati si addizionano in gruppi di 7 i coni semplici (60 unità ognuno) con il risultato di 2 file + 6 coni semplici (resto).

Per ridurre i 6 coni semplici si usano le biglie (10 unità) ottenendo 5 colonne + 1 biglia (resto)

Quest’ultima viene ridotta in 1 fila di piccoli coni + 3  piccoli coni (resto).

 

Il quoziente definitivo è (tanti pezzi quante sono le colonne):

 

 

4 sfere perforate (4x36000) = 144.000

5 sfere semplici (5x3600) =      18.000

4 coni perforati (4x600) =           2.400

2 coni semplici (2x60) =                120 

5 biglie (5x10) =                               50                                             

1 cono piccolo (1x1)    =                    1

resto 3 coni piccoli                   ___________

                                                 164.571

 

Nelle stesse tavolette di Shuruppak troviamo forse il primo esempio di metodo sottrattivo  

di notazione numerica dove il numero 2360 e scritto come “2400 meno 40”.

I momenti alti della matematica mesopotamica furono l’età sumerico-accadica (3000-2000 a.C.), il Primo Impero babilonese (1850-1600 a.C.) e il Secondo Impero babilonese (612 – 300 a.C.). Il periodo dal 1600 a.C. al 600 a.C. fu di decadenza, come pure lo fu per l’Egitto l’intero periodo degli Hyksos e il Medio Regno.

 


22 aprile 2011

Conto e racconto : termini matematici in sumero e accadico

In sumerico

L’addizione è GAR.GAR (metti-metti : continuare a mettere)

La moltiplicazione è TAB (raddoppio di unità II )

Il segno cuneiforme è SAG.DU o SAG.TAG (tacca a forma di fronte) ? (accadico santakku)

Il trapezio è SAG.KI.GU (fronte di bue)

La curva è GAM (curvarsi, inginocchiarsi, sottomettersi, morire)    ) k

La circonferenza e KA.KES (legare, dunque mettere insieme e racchiudere in un contenitore)

L’area è A.SA (campo)

La base di un solido è KI (terra,luogo)

L’altezza è SUKUD

La larghezza è DAGAL (vastità)

Il cateto è US

Il prodotto della moltiplicazione è A.RU

La perpendicolare è WRD (discendere)

Il lato del quadrato è IB.SA (eguagliare)

La diagonale o l’ipotenusa del triangolo rettangolo è BAR.TA o BAR.NUN

 

In accadico

L’addizione è kamaru (ammucchiare) da cui kimirtu (somma) opp. wasabu (aggiungere) da cui sibtu (aggiunta, interesse).

La sottrazione è harasu (recidere, ridurre)

La moltiplicazione è esepu (ripetere,raddoppiare) opp. wabalu/nasu (portare…ad un dato valore numerico?) oppure alaku (andare) oppure akalu (mangiare) nella sua forma causativa (far mangiare) . Essa presuppone il tempo, il movimento, che trascina con sé, che divora i suoi figli.

La divisione è  zazu (dividere in varie parti),da cui zittu (quota di eredità), oppure hepu (distruggere,frantumare)

Il numero reciproco è igu dal sumero IGI (occhio; forse perché l’occhio, lo sguardo sono il corrispettivo della realtà?). Da igu derivano igigubbu (coefficiente) e igitennu (frazione)

La radice quadrata o cubica è basu

Il diametro è tallu (linea divisoria)

Il cerchio (o l’arco di cerchio) è kippatu (da curvare,piegare)

Arco di cerchio è pure askaru (luna crescente)

Disegnare una figura è nadu ( forse dal sumero NA.DU, che significa più o meno “porre le fondamenta di un tempio”, cosa che ribadirebbe il rapporto tra geometria e architettura sacra)

La perpendicolare è warittu, l’altezza è melu, la larghezza è rupsu

L’altezza del triangolo è siddu (da sdd “tirare” da cui “lato”,”bordo”)

 


21 aprile 2011

Conto e racconto : conoscenza e memoria

Inizialmente però i segni non esprimevano delle unità foniche. Solo quando il sistema pittografico si relazionò alla lingua parlata, e quando si dovettero esprimere idee astratte non corrispondenti con oggetti della vista, operando una mediazione tra precisione del linguaggio (che si riferisce anche ad eventi, azioni e situazioni poco riproducibili dal punto di vista iconico) e sua permanenza allora i segni persero valore ideografico e ne acquistarono uno fonetico (Heidegger che in un certo senso cerca di risalire all’indietro fa un’operazione complessa e rischiosa, anche se i presupposti ci sono, in quanto ad es. nell’ideogramma sumero TI = freccia = vita è possibile ricostruire una relazione di senso tra i due diversi concetti accomunati dal medesimo segno che ad essi si riferisce). Gli Accadi (popolazione che conquistò le città sumere e ne assimilò la civiltà) utilizzarono il pittogramma di “acqua” tutte le volte che ricorreva il fonema “A” e così pure per tanti altri pittogrammi e fonemi. I segni stilizzati subirono anche una rotazione di 90° gradi (cambiò l’orientamento della scrittura e della lettura dall’alto/basso a destra/sinistra) che li fece perdere sempre più contatto con il disegno originario e determinò la fine del mimetismo iconico della scrittura, almeno in quell’ambito. 

 

La conoscenza per le popolazioni mesopotamiche era apparentemente la polymatheia denunciata da Eraclito a proposito di Pitagora (guarda caso!):

molteplicità d’esperienza

osservazioni caleidoscopiche sull’apparenza

acquisizione di più dati possibili

elenchi ampi, puntigliosi, onnicomprensivi

lunghe liste botaniche e mineralogiche.

Conoscere è inizialmente ricordare più che comprendere, il progresso delle conoscenza si ha inizialmente con l’elaborazione di una mnemotecnica.

La razionalità greca di cui andiamo tanto fieri con le sue catene deduttive è la più brillante delle tecniche della memoria, una collana grazie alla quale tirando una perlina si tirano insieme tutte le altre (logòs da leghein ) e così facendo si può trasmigrare in un’altra esistenza senza portare con sé tutto il mondo ma semplici icone collegate in un disegno, in confezione tascabile magari.

 


21 aprile 2011

Conto e racconto : i pittogrammi sumeri

I segni si ottenevano secondo il tipo ( grande/piccolo  rotondo/appuntito) di punta utilizzata, del verso e dell’angolazione con cui il calamo veniva impresso nell’argilla.

Si andò da una scrittura di segni/immagini (pittogrammi) che rappresentavano anche visualmente il significato (segni iconici o che almeno indicavano una parte per significare il tutto) ad una scrittura di segni stilizzati e convenzionali (ideogrammi) più o meno arbitrari per esprimere significati più complessi:

GAMBA = gamba              camminare                   andare             stare in piedi         correre

DISCO = disco           sole                  giorno              calore              luce

ARATRO = aratro                  arare                agricoltore                   seminare

Inoltre ogni pittogramma può essere letto con più parole sumere diverse e si riscontrano segni determinativi che non hanno un significato in sé ma contribuiscono a delineare il significato della parola che accompagnano.

La scrittura sumerica più antica presentava anche dei veri e propri aggregati logico-semiotici:

BOCCA + PANE = MANGIARE (KANINDA?)

BOCCA + ACQUA = BERE (KA-A)

BOCCA + MANO = PREGARE

OCCHIO + ACQUA = PIANGERE

DONNA + MONTAGNA = SCHIAVA (NINKUR?)

UCCELLO + UOVO = PARTORIRE

Altri esempi:

A.ZU (accadico ASU)    A = ACQUA  ZU = CONOSCERE    AZU = MEDICO,GUARITORE.

Colui che sa dove è l’acqua.

Colui che purifica (e disinfetta) con l’acqua.

Colui che sa come usare l’acqua.

Colui che sa preparare intrugli liquidi.


20 aprile 2011

Conto e racconto : le cifre sono venute prima delle lettere

Il segno scritto è l’impronta che l’oggetto fa sull’argilla che, asciugandosi ed indurendosi, la rende perenne (si può cioè tracciare il segno ma più difficilmente si può cancellare ed alterare)

Tale impronta è una sorta di proiezione geometrica su di uno spazio con un minor numero di dimensioni: forse per questo la riflessione di Platone sul carattere secondario della realtà sensibile rispetto a quello delle idee deriva da una riflessione sulla pratica di scrittura.

Ma tacche simbolico/numeriche sono già scrittura vera e propria?

Forse la differenziazione degli ordini numerici ( coni, sfere etc.) è già scrittura, senza però forte articolazione simbolica.

I numeri hanno anticipato la scrittura, o meglio la scrittura è stata prima scrittura di immagini e di numeri. Dunque le cifre sono venute prima delle lettere.

 

 

Il commercio comunque facilita molto lo sviluppo della scrittura e non a caso l’inventore egizio della scrittura, Thoth è assimilato al dio greco del commercio Ermes.

Il trasporto di simboli è più facile di quello delle cose.

Distinta commerciale (3000 a.C.) aveva su recto e su verso voci di merci corrispondenti scambiate ( lo schema forse su cui si innesteranno le future partite doppie e i vari ordo idearum ed ordo rerum di tipo spinoziano) oppure la molteplicità sparsa da un lato ed il totale dall’altro, come nei problemi matematici che si affrontano nelle scuole elementari.

Su prime tavolette elamite vicino al totale (SU-NIGIN) c’era un segno particolare che stava per la firma dell’estensore del documento o per il tipo di merce indicato.

 


19 aprile 2011

Conto e racconto : pietre e ordini decimali

Inizialmente gli ordini numerici erano definiti da pietre grosse, pietre medie e pietre piccole.

Poi da sassolini di diverse fattezze o messi in diverse scanalature (l’abaco).

Oppure da forme diverse consentite da materiali più teneri (es. la terracotta) che permettono la costruzione di coni, bastoncelli d’argilla, biglie, dischi, sfere etc.

Poi i Sumeri utilizzarono il metodo di perforazione delle pietre per passare da un ordine decimale ad un altro (la logica forse è la stessa delle matrioske e degli insiemi di insiemi…).

 

 

Sumeri                                                                                                          Elamiti

Piccolo cono = unità                                                                           Bastoncello = unità

Biglia = decina                                                                                     Biglia = decina

Grosso cono = sessantina                                                                   Disco = 100

Grosso cono perforato = 600                                                             Cono = 300 (60x5)

Sfera = 3600                                                                                      Grande cono perforato = 3000

Sfera perforata = 36.000

 

223 sumero =   D D D  o o o o  l l l

(60x3)+(10x4)+(3x1)   (al posto dei coni piccoli abbiamo inserito delle lambda)

 

223 elamita = 0 0 o o ç ç ç

(100x2)+ (10x2)+ (3x1) (al posto dei bastoncini abbiamo inserito delle asticelle)

 


18 aprile 2011

Conto e racconto : numero e scrittura

La scrittura fu una delle grandi rivoluzioni dell’umanità, assieme al fuoco, all’agricoltura, ai numeri ed alla ruota. Essa è la rappresentazione visiva, dunque la memorizzazione e l'organizzazione più efficiente, del pensiero.

Ad un certo punto della storia dell’uomo sembra che la memoria individuale non basta più, in quanto è limitata, non è verificabile ed è dunque rischiosa. Non ci sono processi psichici collettivi.

Gli oggetti esterni, il legno, la pietra sono più stabili e su di essi si possono sovrapporre magicamente dei significati (in seguito la necessità di supporti sempre più duraturi ed estesi, il rischio di perdere anche lo scritto, è stata uno dei motivi della nascita della burocrazia).

Con la scrittura si ha un sistema che ci permette sia la notazione dei numeri sia le operazioni su di essi, senza alcun supporto esterno (come l’abaco).

 L’invenzione, preceduta da tentativi incerti, da avanzate e stasi, da rivoluzione e repressioni è quella di denotare i numeri mediante i segni grafici: le cifre (sulla contraddizione e sulla dialettica che scaturisce da questo rapporto torneremo più in là).

 


1 aprile 2011

Conto e racconto : angolo giro

Altra importante base, forse collegata alla base 12, è la base 60.

La base 60 presa alla lettera prevedrebbe 60 segni diversi e sarebbe un sovraccarico della memoria.

Essa è stata parzialmente utilizzata dalle civiltà mesopotamiche e da astronomi greci ed arabi per misurare archi ed angoli.

Attualmente viene usata per le misure angolari (e dunque anche latitudine e longitudine) e per le misure cronometriche.

I Sumeri, raffinati commercianti elaborarono un sistema numerico che si basava su 5,10,20.

1,2,3,4,5,5+1,5+2,5+3,5+4,10,20,10x3,20x2,(20x2+10).   60 era una nuova unità che fu denominata geshta per differenziarla da gesh=1.

 

1= gesh, ash, dish   4= limmu   7= imin (ia+min)  
2= min  5= ia   8= ussu  
3= esh  6= ash (ia+gesh?)  9= ilimmu (ia+limmu)  
10= u (le dita)  
20 = nish
30 (3x10) 
40 (2x20)
 50 (40+10)

                            

                                                                         

Imin e ilimmu sono tracce di un sistema a base 5. Anche ash forse è un residuo di questo tipo.   

Come si vede dai numeri oltre il 20, le basi utilizzate e gli algoritmi di composizione sono molteplici, ad indicare l’arcaicità del metodo.

 

600= gesh-u (60x10)

3600= shar

36000= shar-u (3600x10)

216000= shar-gal (3600x60)

2.160.000= shar-gal-u (3600x60x10)

Numerazione con diversi livelli

1,60,600,3600,216000,2.160.000,12.960.000

1-10-10x6-(10x6x10)-(10x6x10x6)-(10x6x10x6x10)-(10x6x10x6x10x6)-(10x6x10x6x10x6x10)

(10x6x10x6x10x6x10x6)

 


31 marzo 2011

Conto e racconto : come i mesi dell'anno ovvero la base 12

Altra base numerica storicamente importante è la base 12. Essa è stata molto diffusa  e tuttora ha sparsi molti relitti in tutto il mondo (es. fra tutti il termine dozzina).

Essa era usata da Sumeri e Assiro-babilonesi come misura per le lunghezze, le superfici, i volumi e le capacità. In questo conteso la durata della giornata era suddivisa  in 12 periodi detti danna di 2 ore ciascuno; a sua volta il cerchio, l’eclittica e lo zodiaco erano suddivisi da queste popolazioni in 12 beru (settori) di 30° ciascuno.

Per i Romani l’asse, unità di misura di peso e moneta, era divisa in 12 once come pure nel periodo della Rivoluzione un soldo tornese era divisibile in 12 denari tornesi.

http://www.youtube.com/watch?v=EqBuj0TU9xc&feature=related

Per quanto riguarda le lunghezze 1piede= 12pollici                       1linea= 12punti 

                                                      1pollice=12linee

Per quanto riguarda le misure di peso 12once (once = una volta)= 1 (vecchia)libbra

Per quanto riguarda le misure monetarie 12 pence= 1scellino ( da shekel/siclo?)

 

L’origine della base 12 sta forse nel numero delle falangi ( 3 per ogni dito) computabili utilizzando il pollice come cursore  (3x4=12).

Essa è presente in Indocina, India, Pakistan, Afghanistan, Iran, Iraq, Turchia, Siria ed Egitto (tale diffusione fa pensare ad un utilizzo relativamente recente in ambito islamico) 

L’interazione tra base 10 e base 12 sembra riecheggiare in alcuni termini ed in alcune locuzioni antiche: ad es. in antico tedesco 11= 1 rimasto (dopo che sono state tolte tutte le dita) e 12= 2 rimaste, da cui forse twelwe=twalif=two left=2 lasciate fuori. Anche nella tradizione ebraica il resto d’Israele sono le due tribù che derivano dal sottrarre le dita della mano (10) alla base 12.

 


30 marzo 2011

Conto e racconto : mani e piedi ovvero la base 20

Ben presto la base 5 si è legata ad un’altra base pure legata agli arti ed alle dita e cioè la base 20.  In realtà è più corretto dire che le basi 10 e 20 siano tentativi di estendere la base 5, in quanto il calcolo delle dita di una mano si può estendere a tutte e due le mani (base 10) ed alle dita delle mani e dei piedi insieme (base 20).

 

Un utilizzo misto (base 5 e base 20), dovuto forse all’eredità Maya, è presente negli Aztechi:

 

 

1= CE

6= CHICA CE (5+1)  
2= OME   7= CHICOME (5+2)  CHICA-OME
3= YEY   8= CHICUYEY (5+3)  
4= NAVI  9= CHICNAVI (5+4)
5= CHICA  10= MATLACTLI

20= CEM POUALLI = 1 VENTINA  

30= CEM POUALLI ON MATLACTLI = 20x1+10
53= OME POUALLI ON MATLACTLI ON YEY= 20x2+10+3
( terzo dito del primo piede al secondo conteggio)

                       

 

Con l’ingresso della base 20  il numero ‘20’ diventava non più  « 2mani + 2piedi » ma direttamente ‘uomo’ e dunque una nuova unità di misura antropomorfica :

Per i Banda del Centroafrica il termine per ‘20’ è lo stesso per dire “appendere un uomo”, così come contare le dita di un uomo è trattarlo come morto, esaurirlo, manipolarlo come un pupazzo.

Nei dialetti Maya HUC UINIC = una ventina = un uomo.

Per i Maya il mese era di 20 giorni, come un periodo storico era di 20 anni.

Per i Malinke della Nuova Guinea ‘20’ è sinonimo di ‘uomo completo ’ mentre ‘40’ è sinonimo di ‘letto’ ( dita delle mani e dei piedi di uomo e donna coricati sullo stesso giaciglio ).

 

Come la base 10 è un’interazione, un sovrapporsi tra due basi ( base 5 e base 2), così la base 20 è una sovrapposizione tra base 10 e base 2  o meglio ancora una doppia simmetria di 5

 

5        5

5        5

(5+5+5+5)

(5x2) + (5x2)

5x2x2

 

Così era pure per i Maya, un sistema ausiliare di base 5 o 10 che si iterava dalle 4 alle 2 volte.

 

Dunque tale base congiunta era utilizzata da

Maya e Aztechi

Tribù africane Malinke, Banda, Yesu Yoruba

Tribù sudamericane Tamanas (Venezuela)

Eschimesi e Ainu di Sakhalin

 

Essa andò in crisi quando i piedi furono più sistematicamente coperti da calzature.

Di essa rimangono ancora tracce in Spagna, in Gran Bretagna, Irlanda e Francia, forse collegate alla cultura megalitica o almeno a quella celtica.

In inglese troviamo ONE SCORE=1x20 ( SCORE dal sassone sceran = taglio,tacca)

Nell’antico francese 80= QUATREVINGTS=4x20

Un ospedale francese del XIII sec. era chiamato Hopital des quinzevingts (15x20=300).

In latino il termine viginti non è collegabile né a 2 né a 10, ma sembra essere associabile con termini come victi o vincti ( che sta per “legati mani e piedi”) 

I sistemi quinari-decimali e quinari-vigesimali furono comunque sostituiti da quello decimale.


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