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30 giugno 2007

Bernard Bolzano ed una logica per la matematica

 

 

Il filosofo Bernard Bolzano è stato un importante anello di passaggio tra il progetto leibniziano di formalizzare la logica e la realizzazione di tale progetto da parte di Frege, Russell, Whitehead ed Hilbert.
Uno dei luoghi dove egli svolge questa operazione è Von der mathematischen Lehrart, una sezione

dell’Introduzione alla Grossenlehre, sezione tradotta in italiano da Boringhieri con il titolo “Del metodo matematico”.

Il presupposto di Bolzano è che l'imperitura opera di Euclide possa essere ulteriormente migliorata.

Perché questo venga fatto bisogna però elaborare alcuni concetti logico-filosofici.

 

Proposizione in sé e rappresentazione in sé

 

Per fare questo Bolzano inizia distinguendo tra “proposizioni in sé” e “rappresentazioni in sé”.

Queste ultime sono concetti che hanno una dimensione oggettiva che trascende il pensiero umano (Bolzano qui è platonista) anche se non hanno realtà (esse sono ideali). Sono in particolare i concetti che  formano le "proposizioni in sé": queste ultime probabilmente sono  il senso degli enunciati e non gli enunciati stessi (che sarebbero il momento pragmatico, mentre le proposizioni in sé sarebbero il momento semantico).

Bolzano aggiunge che se penso ad una montagna d'oro, la rappresentazione "montagna d'oro" è reale in quanto rappresentazione mentale soggettiva, ma la rappresentazione in sé (oggettiva), che sta a fondamento di questa rappresentazione soggettiva, non può essere alcunché di esistente e non perchè non ci siano montagne d'oro, ma perchè altrimenti anche le proposizioni in sé (di cui le rappresentazioni in sé fanno parte) sarebbero qualcosa di esistente.

Una distinzione tra proposizioni e rappresentazioni è che le proposizioni possono essere vere o false, mentre le rappresentazioni non possono essere né vere né false. Se sembra che certe rappresentazioni (tipo "quadrilatero rotondo") possano dirsi false, è perchè si presuppone che qualcuno asserisca la proposizione "C'è un quadrilatero rotondo".

 

Bolzano però non problematizza (di fronte a concetti che hanno comunque una dimensione oggettiva) l’accezione dei termini “realtà ed esistenza”. Cosa infatti impedisce alle proposizioni in sè di essere considerate qualcosa di esistente? Ma anche se non lo fossero, a tal proposito A. N. Whitehead  teorizza con la distinzione tra oggetti eterni ed eventi proprio l'esistenza ideale degli oggetti eterni che compongono eventi che possono essere reali, ma che possono anche non esserlo. Perchè ciò che Whitehead teorizza esplicitamente deve essere impossibile? Perché ad esempio rappresentazioni in sé esistenti debbono comporre necessariamente proposizioni in sé esistenti? Inoltre La rappresentazione "quadrilatero rotondo" non presuppone la proposizione "Esiste un quadrilatero rotondo" ? Non ci deve essere un accezione minima di esistenza per gli oggetti di cui si può almeno parlare ? 

La proposizione "Esiste un quadrilatero rotondo" può significare " L'oggetto 'quadrilatero rotondo' già esistente al livello noematico immanente della sua enunciazione, può anche essere individuato almeno ad un livello successivamente inferiore a quello della sua enunciazione (livello più concreto e materiale) "

 

Rappresentazioni semplici e rappresentazioni composte

Bolzano dice che se ogni proposizione consiste di rappresentazioni, così anche alcune rappresentazioni sono composte da altre rappresentazioni (ad es. nulla = non + qualcosa; oppure triangolo equilatero = tre + angoli + lati + uguali ) mentre altre si possono considerare semplici (es. "essere", "avere", "non", "qualcosa").    Bolzano aggiunge che le rappresentazioni componenti un'altra rappresentazione sono il contenuto di questa rappresentazione, mentre rappresentazioni del medesimo contenuto possono essere distinte quando gli elementi sono collegati in modo diverso (es. "quadrilatero con lati uguali e angoli diseguali" è diversa da "quadrilatero con angoli uguali e lati disuguali").   Bolzano poi dice che una forma comune di rappresentazione composta è "A che ha le proprietà m, n, r " e nel caso in cui alcune proprietà di questo tipo risultino già dal fatto che il soggetto in questione sia A, si parla di rappresentazione ridondante  (le proposizioni analitiche di Kant).    Un esempio di questo tipo è "Un triangolo che ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali" (dal momento che se ha tutti i lati uguali necessariamente ha tutti gli angoli uguali).
Bolzano fa anche l'esempio di " Questo, che è un albero..." e afferma che, se dicendo "questo", pensiamo ad un albero, la rappresentazione è ridondante. 

L'esistenza di rappresentazioni composte evidenziata da Bolzano si desume sia dalle scritture pittografiche ed ideografiche, sia dall'esistenza di teorie riduzionistiche. Tuttavia non è possibile una distinzione netta tra rappresentazioni semplici e composte : ad es.  "Qual-cosa" può essere considerata anche una rappresentazione composta , dal momento che essa può essere tradotta in una stringa di molteplici segni (es. “qual-cosa” equivale ad una qualsiasi cosa determinata).

Inoltre due rappresentazioni diverse non hanno il medesimo contenuto, ma i medesimi elementi.  Nel caso in cui gli stessi elementi sono strutturati in modo diverso, essi compongono differenti sottoinsiemi (nel caso in oggetto a "lati eguali" e angoli diseguali" si contrappongono "lati diseguali" e "angoli eguali" ) , per cui due rappresentazioni con i medesimi elementi si possono assimilare a due insiemi con gli stessi elementi ma a cui corrispondono due insiemi potenza con elementi (i sottoinsiemi) diversi. Spesso il rapporto tra insieme ed elemento non è sempre diretto ma mediato da sottoinsiemi diversamente composti e strutturati.

Infine l'eguaglianza di tutti gli angoli, in presenza dell'eguaglianza di tutti i lati, è un teorema che va dimostrato (dunque ridondante solo se la dimostrazione è gia nota) . In realtà la ridondanza dipende dal livello di competenza interno alla comunità in cui avviene una comunicazione. Dunque esso è relativo. Anche il caso in cui si dice"Questo, che è un albero..." la ridondanza dipende dalla finalità comunicativa che ci proponiamo : sottolineare ad esempio che ciò che vediamo è questa e quest'altra cosa è funzionale a quel che si dice dopo. Anche in questo caso dunque la ridondanza va valutata in funzione del complesso di un discorso.

 

 

 

I segni caratteristici 

 

Bolzano dice che gli elementi che formano il contenuto di una rappresentazione non devono essere confusi con i segni caratteristici, né del suo oggetto né di se stessa.

Segno caratteristico di un oggetto è una qualunque sua proprietà particolarmente adatta a farlo riconoscere. (ad es. un aumento della temperatura e un’accelerazione della circolazione sanguigna sono segni caratteristici di un’eccitazione).

Essendo anche la rappresentazione un oggetto, essa può avere i suoi segni caratteristici (“essere composta”, “essere semplice”).

E’ un luogo comune pensare che ogni segno caratteristico dell’oggetto debba comparire anche nella rappresentazione. Ciò non è vero in quanto il concetto “triangolo equilatero” ha un oggetto con dei segni caratteristici (es. tutti gli angoli sono di 60 gradi etc.), ma di questi non si fa menzione nel concetto.

Il numero di proprietà contenuto dal triangolo equilatero (come da ogni altro oggetto) è infinito. Se tutte le proprietà di una cosa dovessero essere esplicitamente menzionate nella sua rappresentazione, ogni rappresentazione avrebbe un numero infinito di elementi

Non tutte le rappresentazioni di un segno caratteristico comparenti nel concetto di un’oggetto sono a loro volta segni caratteristici di tale oggetto. Ad es. in un triangolo scaleno la rappresentazione dell’eguaglianza (collegata in questo caso ad una negazione) non corrisponde ad un segno caratteristico dell’oggetto.

 

In realtà una proprietà di un oggetto è un elemento della sua rappresentazione, anche se forse non tutti gli elementi di una rappresentazione sono proprietà essenziali dell’oggetto rappresentato.

Un aumento della temperatura non è una proprietà dell’eccitazione, ma un suo effetto. “Essere composta” o “essere semplice” invece sono primamente proprietà essenziali di una rappresentazione o di un qualsiasi oggetto e solo secondariamente suoi segni caratteristici.

Bolzano fa due confusioni: tra concetto (lo stesso che l’oggetto idealmente inteso) e rappresentazione, e tra conceptum (l’idea oggettivamente intesa) e conceptus (la nozione soggettiva che noi abbiamo dell’oggetto). Inoltre le proprietà considerate essenziali sono quelle scelte per caratterizzare gli assiomi relativi all’oggetto da cui si fanno discendere tutte le altre proprietà (quelle caratterizzanti i teoremi).

Nel conceptus (apparenza soggettiva ed immediata del conceptum) può non comparire qualche proprietà essenziale, ma ciò non accade per quanto riguarda il conceptum. La rappresentazione può essere considerata il  conceptus che tende al conceptum: il conceptum è oggettivo e coincide (nella sua infinita approssimazione) con l’oggetto stesso. L’inadeguatezza della rappresentazione al suo oggetto è la prova che non può esserci rappresentazione senza oggetto, in quanto la rappresentazione non può mai sostituire l’oggetto stesso senza coincidere con l’infinità (di proprietà e relazioni) dell’oggetto stesso.

 Dal fatto che non tutte le rappresentazioni di un segno caratteristico comparenti nel concetto di un’oggetto sono a loro volta segni caratteristici di tale oggetto si può inferire che le rappresentazioni non si riducono ai loro elementi. D’altro canto Bolzano rappresenta la rappresentazione come un che di atomisticamente scomposto, mentre l’oggetto rimane un che di complesso. Questo è dovuto anche al fatto che una qualità o una relazione collegate ad un altro elemento possono trasformarsi nel loro opposto (il “miracolo” della negazione), per cui la strutturazione degli elementi in sottoinsiemi è un momento fondamentale della costituzione dell’insieme (a dimostrazione della non riducibilità dell’insieme ai suoi elementi).

Inoltre le proprietà di un oggetto sono rappresentabili anche come un che di composto (es. non-uguale) per cui anche la semplicità o la complessità di un oggetto (o di una rappresentazione) sono reciprocamente traducibili e relative al punto di vista da cui si guardano le cose.

Infine alcune domande : Le proprietà dedotte si rispecchiano nei segni caratteristici ? I segni caratteristici non riguardano le proprietà adatte a farlo riconoscere ? E dunque i segni caratteristici non devono rientrare nelle proprietà che si evidenziano nel rapporto immediato con l’oggetto? Inoltre per Bolzano tutte le proprietà di un oggetto sono segni caratteristici ?

 

 

L’oggetto e il contenuto della rappresentazione

 

Per Bolzano si chiama oggetto di una rappresentazione qualunque cosa reale o non reale di cui si possa dire che venga rappresentato da una rappresentazione. Oggetto della rappresentazione è ciò di cui tratti una proposizione che ha questa rappresentazione come soggetto (grammaticale).

Ad es. le stelle Sirio, Rigel e Aldebaran sono oggetti della rappresentazione “stelle di prima grandezza”;    oppure i numeri 1, 3, 5, 7, 11, 13 sono oggetti rappresentati dalla rappresentazione “numero primo”;   oppure ancora i numeri 2, 3, 4 sono i tre oggetti rappresentati dalla rappresentazione “radice dell’equazione x3 – 9x2 + 26x – 24”.

Vi sono rappresentazioni con infiniti oggetti (es. “numero primo”), rappresentazioni con un solo oggetto (“fratelli di Romolo”) e rappresentazioni senza oggetto ( “I figli di Hitler” ).

Altri esempi di tali rappresentazioni : a) La rappresentazione “Universo” ha un unico oggetto; b) “radice reale x3 – 1 = 0 ” ha un unico elemento (oggetto) e cioè il numero 1; c) “Nulla” non rappresenta nessun oggetto né di reale né di non-reale; d) “quadrilatero rotondo” pure è una rappresentazione senza oggetto includendo proprietà che si contraddicono reciprocamente.

Si deve poi distinguere tra A) rappresentazione che rappresenta gli oggetti indicati ma ancora insieme con altri (ad es. “qualcosa” indica una bottiglia come un piatto di pietanze) e B) rappresentazione di determinati oggetti e che dunque rappresenta solo questi oggetti e non  altri.

Bolzano poi approfondisce il concetto di rappresentazione del nulla (una rappresentazione che non rappresenta). A tal proposito ricorda che una denominazione può essere sempre insufficiente, senza che però si debba respingere il concetto che ad essa colleghiamo.

A tal proposito, il concetto che si collega alla parola “rappresentazione”, quando si denomina in questo modo un elemento di una proposizione il quale a sua volta non costituisce una proposizione di per sé completa,  non richiede per nulla che esista un oggetto da essa rappresentato.

Ogni elemento di una rappresentazione, chiamato la sua rappresentazione-soggetto, deve essere una rappresentazione con oggetto in quanto deve rappresentarci l’oggetto di cui parliamo in quella proposizione (il soggetto grammaticale)

Parimenti qualsiasi elemento di una proposizione, chiamato rappresentazione-predicato, deve essere una rappresentazione con oggetto in quanto deve rappresentarci la proprietà che nella proposizione attribuiamo a quell' oggetto.

Anche le parti più remote in cui consistono gli elementi prossimi di una proposizione spesso ulteriormente composti debbono parimenti rappresentare ognuno un oggetto. Ad es. in “La rappresentazione v-1 è composta” qui la rappresentazione-soggetto designata da “La rappresentazione v-1” è una rappresentazione con oggetto “v-1”. A sua volta però “v-1”, ulteriore elemento della proposizione presente in questa rappresentazione, non rappresenta in sé nessun oggetto.

Se chiamiamo rappresentazione ogni elemento di una proposizione, ci sono allora rappresentazioni prive di oggetto in quanto se “un corpo delimitato da n facce laterali uguali” è una rappresentazione, essendo n = 4, allora è una rappresentazione (senza oggetti) con n = 2 da usare in una dimostrazione geometrica.

 

Che dire di queste tesi complesse ed articolate ?

Quella di Bolzano dello oggetto non è una definizione circolare, sia nel primo sia in modo più nascosto nel secondo caso ? Non sarebbe più significativo dire, utilizzando una terminologia meinonghiana, che si chiamano oggetti sussistenti tutti gli oggetti che possono essere oggetti di una rappresentazione ?

Bolzano anticipa la tesi di Frege circa l’oggetto/argomento e il concetto/funzione, ma la sua terminologia è tale da rischiare grande confusione vista l’accezione psicologistica del termine “rappresentazione”.

Bolzano infatti confonde la rappresentazione con quelli che sono i predicati. Infatti negli esempi suddetti la rappresentazione è un predicato (intenzionalmente) o l’insieme di cui gli oggetti sono elementi (estensionalmente). Ad es. Sirio, Rigel e Aldebaran sono elementi dell’insieme delle stelle di prima grandezza.

In realtà tutte le rappresentazioni hanno in realtà infiniti oggetti (ad es. i figli di Hitler che sono immaginabili sono sempre infiniti).Perchè gli oggetti di una rappresentazione non siano infiniti, bisogna vincolare la rappresentazione ad un universo di discorso con un numero finito di elementi (ad es. il mondo possibile in cui concretamente viviamo che sia concepito come non-illimitato). C’è da aggiungere che anche nella seconda sequenza di esempi “rappresentazione” è sinonimo di “predicato” e di “insieme”.

L’Universo poi in realtà non è un individuo ? Definito cioè l’Universo in un certo modo, esso non è una classe. O bisogna presupporre che ogni individuo sia in realtà una classe con un solo elemento ?

“Nulla” poi  rappresenta il Nulla o non rappresenta alcun oggetto ? O le due proposizioni sono equivalenti ? Bolzano poi è proprio sicuro che non esistano oggetti contraddittori o come “radice razionale dell’equazione x2 – 2 = 0” ?

La separazione poi che Bolzano opera tra concetto ed espressione linguistica si potrebbe anche applicare alle contraddizioni che sarebbero espressioni contraddittorie di oggetti non-contraddittori.

Bolzano poi intuisce quello che poi sarà definito come l’assioma di comprensione quando parla di “rappresentazione di determinati oggetti  che rappresenta solo questi oggetti e non  altri ”

L’elemento che a sua volta non è una proposizione completa corrisponde all’argomento/oggetto di Frege, mentre una proposizione completa corrisponde all’asserzione di Frege. A tal proposito però va rilevato che il realismo logico afferma che comunque gli oggetti (o elementi) all’interno dell’asserzione hanno comunque un grado di esistenza diversa da zero, altrimenti l’asserzione non sarebbe logicamente possibile. Perciò non si ha che, distinguendo tra elemento (argomento) e proposizione (asserzione) che si riesca a risolvere il problema del realismo riguardo generalmente agli oggetti di pensiero.

Bolzano, come Frege più tardi, unifica il soggetto ed il predicato sotto la categoria di “oggetto”, mostrando una sudditanza all’Idealismo. Perché infatti chiamarlo “oggetto” se non presupponendo la tesi berkeleiana dell’inesistenza di una substantia e della riducibilità dell’ente all’ob-iectum del pensiero ?

La tesi del carattere di “oggetto” anche delle parti remote degli oggetti immediatamente accessibili epistemicamente si può collegare alla teoria di Whitehead degli oggetti eterni.

Dunque ogni elemento di una rappresentazione è a sua volta una rappresentazione. Ma il rappresentare o meno un oggetto da cosa dipende ? Qual è l’ambito in cui bisogna cercare l’oggetto rappresentato (l’universo dei noemi, il mondo fisico)?

Perché la “rappresentazione v-1” ha un oggetto ? Basta a tal proposito che ci sia un insieme di segni che formino questo senso ? La rappresentazione dunque esiste sicuramente come finzione? Come intenzione ? Cos’è propriamente la rappresentazione per Bolzano ?

Si potrebbe più coerentemente dire che ogni oggetto di pensiero ha un grado minimo di esistenza. Ci sono oggetto con gradi diversi di esistenza, per cui anche “un corpo delimitato da due facce laterali uguali” ha un grado minimo di esistenza e può perciò essere utilizzato per dimostrare che non ha un determinato grado “n” di esistenza (non esiste ad es. in tutte le geometrie conosciute e sistematizzate).

 

 

Le estensioni delle rappresentazioni

 

Bolzano dice che, in una rappresentazione con oggetto, si chiama estensione la totalità di oggetti ad essa sottostanti. A tal proposito Bolzano elabora una casistica che corrisponde un po' alla logica delle classi :

 

I)Nel caso che una coppia di rappresentazioni A e B abbia uno o più oggetti comuni (sottostanti cioè sia ad A che a B ), le due rappresentazioni si dicono compatibili o concordanti (es. quadrilatero e figura regolare)

II)Se non esiste alcun oggetto che sottostà ad A e a B, A e B si escludono reciprocamente             (es. triangolo e quadrilatero)

III) Quando qualsiasi oggetto sottostante a B, sottostà anche ad A, allora A comprende B, A è cioè la rappresentazione comprendente mentre B è la rappresentazione compresa. Ad es. la rappresentazione "curva conica" è compresa nella rappresentazione "curva di secondo grado" in quanto tutte le coniche sono curve di secondo grado, mentre non si sa se tutte le curve di secondo grado siano coniche. Altro es. la rappresentazione "numero" coprende la rappresentazione "numero pari".

IV)Quando qualsiasi oggetto, sottostante a B, sottostà anche ad A e qualsiasi oggetto, sottostante ad A, sottostà anche a B, allora A e B sono equivalenti (es. triangolo equilatero e triangolo equiangolo)

V)Quando il rapporto di comprensione tra due rappresentazioni A e B non è reciproco, si dice che A è più alta di B (e B è più bassa di A). Ad es. "quadrilatero" è più alto di "quadrato", mentre "poligono" è più alto di "quadrilatero".

VI) Nel caso non sussista rapporto di comprensione tra A e B, ma A e B siano concordanti, allora esiste un qualche oggetto che sottostà ad A e B, qualche oggetto solo ad A, qualche oggetto solo a B. In questo caso A e B sono concatenate ed avviluppate (es. quadrilatero e figura regolare)
VII) Nel caso particolare di mutua esclusione (caso II), quando dati A e B, tutti gli oggetti che non sottostanno ad A, sottostanno a B, e tutti gli oggetti che non sottostanno a B, sottostanno ad A, allora A e B si contraddicono reciprocamente (sono cioè opposte contraddittorie). In tutti gli altri casi di incompatibilità A e B sono meri contrari (es. triangolo e quadrilatero).

 

 

Circa questa classificazione

si dirà riassumendo che le rappresentazioni si distinguono in rappresentazioni compatibili e rappresentazioni incompatibili (o escludenti)

Le prime si distinguono in rappresentazioni comprensive (che a loro volta si dividono in equivalenti e subordinate) e rappresentazioni avviluppate (caratterizzate dalla presenza di un insieme intersezione). Le seconde si distinguono in rappresentazioni contraddittorie e rappresentazioni contrarie

A tal proposito ci preme evidenziare che quelle contrarie ci sembrano semplicemente rappresentazioni diverse (tipo appunto triangolo e quadrilatero), mentre le contraddittorie possono essere solo quelle caratterizzate dalla coesistenza di un insieme qualunque e dal suo insieme complemento

Inoltre è problematico parlare di contraddittorietà quando non si parla di proposizioni, ma di sole rappresentazioni (o concetti).

 

 

 

Rappresentazioni senza oggetto e loro estensioni

 

Bolzano afferma che molti dei rapporti tra rappresentazioni ed estensioni di esse si applicano anche alle rappresentazioni senza oggetto.

Ad es. un corpo con più di 20 facce uguali è più alto di un corpo con 21 facce uguali e perciò se dimostriamo che non esiste il primo, dimostriamo pure che non esiste il secondo.
Bolzano a tal proposito dice che questo può accadere quando a proposito di rappresentazioni senza oggetto, noi pensiamo certi loro elementi i, j, .... come variabili e facciamo in modo da confrontare tra loro le infinite molteplici nuove rappresentazioni che si formano sostituendo a i, j.... rappresentazioni sempre diverse ogniqualvolta che l'una o l'altra di queste diventi una rappresentazione con oggetto. In altre parole A e B sono rappresentazioni equivalenti rispetto alle loro parti variabili (i, j.....) quando le rappresentazioni in cui A e B si risolvono sostituendo a i, j....altre rappresentazioni a piacere, si equivalgono reciprocamente e designino gli stessi oggetti, ogni qualvolta abbiano in genere un oggetto.

Invece A è rappresentazione più alta di B ogniqualvolta che A o B diventino rappresentazioni con oggetto tramite una certa determinazione di i, j......

A rappresenta tutti gli oggetti di B ed anche altri: ad es. "radice di (-1)" e "[-1/radice di (-1)]" sono equivalenti rispetto all'elemento variabile (-1) in quanto si equivalgono reciprocamente ogni qualvolta a (-1) si sostituisce qualsiasi altra grandezza, operazione con la quale "radice di (-1)" diventa rappresentazione con oggetto.

Bolzano poi definisce l'ampiezza di una rappresentazione che è una grandezza che determina l'insieme di tutti gli oggetti ad essa sottostanti. Ad es. A e B hanno la stessa ampiezza quando hanno lo stesso numero di oggetti, mentre A e B hanno la stessa altezza quando hanno gli stessi oggetti (equivalenza). A è più ampia di B quando ha più oggetti di B a prescindere dal fatto che gli oggetti di B siano o non siano al tempo stesso anche oggetti di A. Dunque ogni rappresentazione più alta è anche più ampia, ma non è detto che ogni rappresentazione più ampia sia anche più alta.

 

A queste tesi di Bolzano vale la pena fare le seguenti considerazioni:

Bolzano in primo luogo sembra anticipare la teoria degli oggetti sussistenti di Meinong.
In secondo luogo se queste rappresentazioni senza oggetto sono differenziabili tra loro, esse non sono niente di soggettivo a cui non corrisponda un ente reale, ma sono enti noematici (o noemi) a cui non corrispondono entità ad un livello più concreto di esistenza.

In terzo luogo Bolzano non specifica cosa voglia dire la mancanza di un oggetto per una rappresentazione (inesistenza fenomenica, inesistenza nel mondo reale, inesistenza assoluta)
In quarto luogo Bolzano invece di sviluppare (come farà Meinong) un discorso sugli oggetti sussistenti, collega il senso delle proposizioni su rappresentazioni senza oggetto a delle analogie di queste proposizioni con proposizioni riguardanti rappresentazioni con oggetto. ma a questo punto il senso delle rappresentazioni senza oggetto sarebbe fittizio. In un certo senso Bolzano con la sua ambiguità anticipa entrambe le soluzioni (quella di Frege e quella di Russell) al problema degli oggetti non esistenti di Meinong. In pratica egli vuole dire che il senso delle rappresentazioni senza oggetto è tutto nelle proposizioni (nei predicati, nei concetti, nelle funzioni) nelle quali esse ingrediscono: proposizioni che non sono altro che funzioni proposizionali.
Ad es. (v-1 = -1/v-1) ha un senso perchè ha un senso (x = -1/x) e solo per questo.
Tuttavia Bolzano non tiene conto del fatto che se (x = -1/x) ha un senso come locuzione pure (v-1 =

-1/v-1) ha un senso diverso da (v-4 = -1/v-4)  e da ad es.(v3 = -1/v3 ) e se ha tale senso proprio , allora ciò vuol dire che anche (v-1) ha un senso proprio diverso da (v-4) e da (v3).
Dunque anche il sinn delle funzioni proposizionali presuppone il sinn dei loro rispettivi costituenti e tale sinn implica almeno un grado minimo di esistenza di tali costituenti, per cui le rappresentazioni senza oggetto sono semplicemente oggetti ad un livello più astratto di esistenza di quello immediatamente preso in considerazione.

 


Rappresentazioni con un unico oggetto

 

 Bolzano poi si sofferma sulle rappresentazioni semplici che contemporaneamente hanno un unico oggetto.
Egli dice che spesso facciamo uso di rappresentazioni semplici ogni volta che pronunciamo il giudizio che un certo oggetto esercita un effetto su di noi. Tale effetto deve essere percepito e dunque se ne deve avere una rappresentazione tale che rappresenti solo quell'effetto. Essa deve poi essere una rappresentazione singola, che si possa esprimere cioè con "Questo che si sta producendo in me..."

Una rappresentazione di tal genere rappresesenta un unico oggetto (dato da "questo"). Se la rappresentazione si riferisse, oltre che all'effetto dell'oggetto su di noi, anche su qualche altra modificazione simile, non useremmo il termine "questo" (indeterminato), ma "siffatto" (qualcosa fatto come questo qui).

Bolzano poi aggiunge che ci sono rappresentazioni assolutamente semplici quali "questo" senza alcuna aggiunta. Bolzano dice che l'oggetto che rappresentano rimane uno e medesimo sia o meno accompagnato da tali aggiunte (aggiunte che esprimono le proprietà che competono all' unico oggetto che ci stiamo rappresentando), già per il fatto che è proprio questo e nessun altro, tanto da rendere ridondante la stessa rappresentazione.

Bolzano dice poi che con questa rappresentazione ci vengono involontariamente in mente delle aggiunte del tipo "...che proprio adesso sto percependo" oppure "...rosso" o "...azzurro"

Per Bolzano dunque è provato che esistano rappresentazioni singole semplici, sebbene non siano concepite da noi isolatamente, ma sempre in connessione con altre...
Egli però conclude che, poichè non si genera rappresentazione composta senza che la si produca a partire dalle sua parti semplici, non v'è dubbio che ognuna delle rappresentazioni semplici che abbiamo menzionato deve, per un breve periodo, esistere isolatamente nella nostra mente.
Bolzano denomina intuizioni le rappresentazioni semplici e con un solo oggetto, mentre le rappresentazioni che non sono intuizioni ed al tempo stesso non contengono intuizioni come elementi dà il nome di concetti.

Concetto è ad es. la rappresentazione "qualcosa" che è una rappresentazione semplice, ma rappresenta non un oggetto, ma una molteplicità infinita di oggetti.
Concetto è anche la rappresentazione "Dio" che ha un solo oggetto, ma non è semplice, bensì composta, dal momento che dicendo "Dio" o penso al reale assoluto, al reale che non ha un fondamento ulteriore della sua realtà.

Altrettanti meri concetti sono la rappresentazione "proposizione", "proposizione vera", "proposizione falsa", percè in esse non c'è nessun elemento semplice che sia una rappresentazione singola.


Su queste tesi di Bolzano sono possibili le seguenti osservazioni:

In primo luogo la semplicità della rappresentazione con "questo" può ben essere fittizia, anche perchè essa implica anche il ricordo o la visione di "quello".

In secondo luogo, egli pur introducendo la questione degli indicali, trascura la critica che Hegel (cui lui tanto si contrappone) ha fatto a questi concetti accusati di vuotezza e genericità. Egli forse non si accorge che forse la ridondanza della rappresentazione è forse il segno dell'eccedenza dell'indicale rispetto a se stesso (e dunque della sua intima contraddizione). Il fatto che le aggiunte dell'indicale ci vengano secondo Bolzano involontariamente, è un altro senso del fatto che l'indicale tenda a negare e superare se stesso. Anche il fatto che (guarda caso !) le rappresentazioni semplici sono comunque sempre pensate in connessione con altre, è un segno del fatto che la teoria di Bolzano ha bisogno di una ricca integrazione con altre tesi dialetticamente orientate. Inoltre la tesi psicologica di Bolzano per cui non si genera rappresentazione composta se non a partire dalle sua parti semplici è in realtà un'ipotesi psicologica che si spaccia per certezza.

In terzo luogo, le intuizioni sono da Bolzano denaturalizzate e concettualizzate forse arbitrariamente, mentre i concetti sono assolutamente privati di una base intuitiva. Bolzano poi non spiega cosa siano le generalizzazioni (intuizioni o concetti ?). Sono gli pseudo-concetti di Croce ?
In quarto luogo "rappresentazione semplice" è una rappresentazione che può riferirsi ad oggetti infiniti, ma che è espressa linguisticamente da un solo termine ? E se l'unità si verifica a livello di contenuto, come si distingue un contenuto unitario da uno che unitario non lo è ?

In quinto luogo, perchè il Reale assoluto è per Bolzano una rappresentazione composta? E se "Dio"

è una rappresentazione composta, esso non si concepisce più per se (si pensi a Spinoza) ? La rappresentazione di Dio allora non è più Dio stesso ?

In sesto e ultimo luogo Bolzano non ci dice di quali elementi sono composte rappresentazioni tipo "proposizione vera". Ma in questo modo la sua tesi risulta inverificabile.

 

 

Le rappresentazioni miste e le verità concettuali

 

Bolzano dice pure che ci sono rappresentazioni miste, rappresentazioni che sono composte in parte di concetti e in parte di intuizioni e che si dividono in

A)    intuizioni miste come "la stella Aldebaran" dove la rappresentazione principale è un'intuizione.
B) concetti misti come "abitante della Luna" dove la rappresentazione principale è un concetto (es. abitante)

Bolzano dice che le proposizioni in cui tutti gli elementi sono puri concetti sono, a loro volta, pure proposizioni concettuali e, se sono vere, pure verità concettuali.

Invece le proposizioni che contengono una qualche intuizione sono proposizioni intuitive o empiriche. E Bolzano aggiunge che esistono intere scienze in cui consideriamo come legge il fatto che tutti i teoremi in esse contenuti sono pure verità concettuali (es. teoria dei numeri)
Le verità concettuali vengono pure chiamate a priori, ma tale termine indica più il modo in cui veniamo a conoscenza di queste verità. Inoltre alcune verità concettuali (come le proposizioni sui numeri primi) sono conoscibili tramite una sorta di esperienza.

 

Bolzano dunque a ragione asserisce che è l'ambito delle proposizioni concettuali e non il loro statuto conoscitivo a definirne l'essenza, anche se sbaglia a considerare le leggi di Newton come pure proposizioni concettuali.

Inoltre è problematico dire che delle proposizioni sono conoscibili tramite esperienza se in esse non è presente alcun elemento intuitivo.

 

 

 

Le compatibilità logiche

 

Bolzano dice poi che, dei diversi rapporti che possono aver luogo tra proposizioni si evidenziano quelli che risultano dall'introduzione di elementi variabili nelle proposizioni (soggetto, predicato). Diventa interessante ricercare cosa ne sia della verità di queste proposizioni, quando le parti cosiddette variabili vengono sostituite da altre prese a piacere.
Bolzano poi dice che esempi di questo tipo si hanno quando:

a)      Le proposizioni A, B, C, D con variabili i,j... abbiano proprietà tali che esistono certe rappresentazioni con cui A, B, C, D sono vere.

b)      In tal caso le proposizioni A, B, C, D sono compatibili rispetto alle variabili. Ad es. rispetto alla rappresentazione N sono compatibili la proposizione "N è dispari" e "N è un quadrato", essendo facile scegliere N di modo che le due proposizioni siano entrambe vere.

c)      Invece nel caso dii incompatibilità, "la figura X è un triangolo" e "Due angoli della figura X sono retti", sono due proposizioni incompatibili

d)      Se A, B, C sono compatibili con M, N..... vi sono rappresentazioni di i, j... che rendono vere sia A, B, C che M, N, ...

e)      Vi è il caso in cui tutte le rappresentazioni sostituite da i, i.... rendono vere sia A, B, C, che M, N..... In tal caso si dice che M (conseguenza) è deducibile da A, B, C che sono in tal caso premesse.

f)        f) C'è un significato ampio di deducibilità per cui M, N sono deducibili da A, B, C per tutte le rappresentazioni e c'è un significato ristretto di deducibilità per cui non tutte le rappresentazioni rendono vere A, B, C, ma quando lo fanno si ha che M,N sono vere anche quando è vera solo A, solo B o solo C.

g)      Se il rapporto di deducibilità è chiaro al primo sguardo e si fonda sulla mera forma della proposizione, si suole parlare di conseguenza logica. Ci sono poi proposizioni reciprocamente deducibili (equivalenza)

h)      C'è poi il rapporto di contraddizione tra "Alcuni A sono B" e "Ogni A è un non-B" e il rapporto di mera incompatibilità (dove i termini sono contrari tra loro) tra "Tutti gli A sono B" e "Nessun A è B"



Circa questa a mio parere lacunosa esposizione dei rapporti tra funzioni proposizionali, c'è da dire quanto segue:

In primo luogo Bolzano qui sembra considerare le rappresentazioni come interpretazioni e dunque saturazioni delle funzioni (delle variabili)

In secondo luogo in realtà se "Alcuni A sono B" equivale a "Alcuni A sono B ed alcuni A non sono B" (come dovrebbe essere) e se tale proposizione è falsa, da ciò si può dedurre sia "Nessun A è B" sia "Tutti gli A sono B"

In terzo luogo "Alcuni A sono B" è ambigua ed è una proposizione epistemica (non ontologica). Rientrano in un'ontologia estensionale "Tutti gli A sono B", "Nessun A è B", "x, y, z sono B". Rientra in un'ontologia (anche se non estensionale) "Alcuni A sono B ed altri A non sono B".

 

 

La comunicazione scientifica

 

Bolzano dice che tutta la comunicazione in un libro si svolge tramite segni scritti ed è necessario che al lettore vengano foniti anche altri segni che insegnino l'uso dei primi segni. Anche nei trattati di scienze matematiche c'è una notevole quantità di segni specifici, la cui notevole perfezione è una delle cause principali dei notevoli progressi fatti da questa scienza.
Bolzano aggiunge che le regole sono in parte espressamente stabilite, in parte tacitamente osservate, Ci sono regole specifiche per l'invenzione di questi segni e regole per il loro uso. A tal proposito, due sono le regole da seguire:

 

A)   Non si adoperi per quanto possibile alcun segno, se prima non si è reso noto al principiante il suo significato (informazione). Tali informazioni consisteranno solo di proposizioni espresse tramite altri segni scritti. Se però bisogna dare informazioni al lettore sui segni di una rappresentazione composta, e se questa è formata da rappresentazioni semplici che hanno segni già noti al lettore, un eccellente mezzo di informazione consiste nell'ordinare i segni nello stesso ordine con cui le rappresentazioni semplici costituiscono le rappresentazioni composte (informazione mediante scomposizione analitica o spiegazione o determinazione concettuale) ad es. un triangolo viene chiamato isoscele se ha due lati uguali. Tale strumento non è sempre applicabile e non lo è ad es. con rappresentazioni assolutamente semplici nè con rappresentazioni composte di cui non conosciamo gli elementi. In questi casi ci sono altri mezzi di informazione di cui uno dei più generali è mettere insieme diverse proposizioni dove compare il concetto rappresentato collegandole di modo che non si pensi ad un altro concetto al suo posto. Confrontando queste proposizioni, i lettori possono desumere dal segno stesso il suo senso.

B) C'è poi il dovere in certi casi di giustificare specificamente la scelta del dato segno, mostrando che esso è conforma allo scopo scelto. Esso è particolarmente indicato quando ci prendiamo la libertà di introdurre un nuovo segno o di modificare il significato di un segno già in uso.
Bolzano poi dice che è impossibile evitare l'uso di segni e termini che non portino con sé una rappresentazione secondaria appartenente al concetto da designare. Se anche fosse possibile, aggiunge Bolzano, non sarebbe utile in quanto proprio quelle rappresentazioni secondarie facilitano il compito di cogliere certe verità. Sarebbe sbagliato solo servirsi di tali rappresentazioni secondarie per derivarne ciò che non sappiamo dedurre dai concetti stessi. Spesso si fa uso di termini tecnici, segni e locuzioni che, in forza di rappresentazioni secondarie, si allontanano dal loro significato originario. Ad es. nella teoria pura dei numeri e nella teoria pura delle grandezze si mantengono termini tecnici presi a prestito da certi rapporti che hanno luogo nello spazio e nel tempo, anche se i concetti di queste scienze non si fondano su rappresentazioni spazio temporali, in quanto è sempre possibile esporre queste teorie senza fondarle su proprietà di tempo e di spazio.
Seppure (continua Bolzano) si volesse dimostrare che non è possibile farlo o che in ogni esposizione si insinuano rappresentazioni spazio-temporali, ciò si dovrebbe dedurre non dalla mera circostanza che quei termini tecnici contengono rappresentazioni, ma si dovrebbe dimostrare che, o i concetti stessi contengono le rappresentazioni da evitare, oppure che nell'esporre le spiegazioni si siano dedotte conseguenze che non risultano dai concetti stabiliti, ma solo dai termini tecnici scelti per designarli, grazie alle rappresentazioni secondarie che essi comportano.
Per Bolzano rappresentazioni e proposizioni sono per noi intelligibili solo se si può chiarire se esse siano semplici o composte, ed in quest'ultimo caso di quali altre rappresentazioni più semplici esse consistano.
Bolzano aggiunge che lo sforzo di rendere intelligibili i nostri concetti e giudizi ci risolve molte difficoltà e chiarifica concetti che ci siamo formati gradualmente sin dall'infanzia, senza che siamo in grado di dire se siano semplici o composti.

Inoltre non sapremo mai dire con assoluta sicurezza se un concetto sia semplice o no; e se lo presentiamo come semplice dobbiamo far vedere che tutti i tentativi di renderlo composito non possono riuscire, mentre se lo vogliamo presentare come composto. dobbiamo far vedere che appunto è composta da altri concetti.

Bolzano poi accenna ad un metodo meno rigoroso (che sarà molto usato) e cioè mostrare che i concetti che vanno spiegati sono collegabili (o sostituibili) da altri concetti che, se non identici, saranno equivalenti: ad es. spieghiamo il concetto di "corpo esteso" come "un corpo tale che ogni suo punto abbia punti ad esso adiacenti per quanto piccola possa essere la loro distanza reciproca".
Bolzano a tal proposito dice che se saremo in grado di dedurre da questo concetto (definiens) tutte le proprietà che si conoscono dei corpi estesi, sarà allora dimostrato che il nostro concetto è equivalente al definiendum.

Bolzano a questo punto, partendo dalle tesi or esposte, critica i trattati scientifici, dove i primi e più importanti concetti (es. spazio) non sono spiegati e dove tali spiegazioni sono rinviate alla filosofia ed alla metafisica in quanto la matematica sarebbe costruzione di concetti tramite intuizione e non analisi di concetti non rappresentabili intuitivamente.

Bolzano a tale ragionamento obietta che è proprio della scienza che tratta di un oggetto, il luogo per un'analisi esatta del concetto di quest'oggetto. e tale analisi non serve a rendere chiari i concetti base, ma a rendere consapevole chi li usa.

Bolzano a tal proposito dice che se si pretende che il matematico non debba riflettere sui concetti che usa, si fa un'assurdità, giacché in nessun altra scienza quanto nella matematica ci sono concetti chiari quanto intellegibili; infatti, il matematico non solo disegna e designa il quadrato, ma lo spiega e lo definisce, e se non fa questo con i concetti di spazio e corpo, è perchè non è giunto ancora ai loro elementi costitutivi.

Per questo, dice Bolzano, la matematica dovendo riflettere criticamente sui prpri fondamenti, non potrà più essere la scienza dove non c'è niente di controverso, ma già contiene questioni controverse (es. contraddizione, logaritmi di numeri negativi, quantità infinite e infinitesimi) a cui si aggiungono le questioni sui fondamenti.

Questo perchè, aggiunge Bolzano una scienza sistematica che non si occupi delle controversie corre dei rischi .

Bolzano conclude questa parte del suo ragionamento dicendo che ci sono alcuni per i quali, più che riflettere sulle proprie basi, la matematica dovrebbe estendere i propri confini.

Molte osservazioni andrebbero fatte su queste tesi:

La prima è che l'analisi logica va perfezionata dall'analisi semantico-lessicale e dunque deve avere in sè un riferimento storico ed ermeneutico.

La seconda è che la riflessione sugli strumenti delle singole scienze può essere fatta anche dagli scienziati, ma si tratta sempre di filosofia.

La matematica poi può trattare i concetti di piano e di figura, ma non quelli di spazio e di corpo, che pertengono maggiormente alla fisica.

La questione tra istanze fondative ed istanze estensive all'interno della matematica anticipa poi forse le interpretazioni della prova di Godel.

Bolzano ha ragione a considerare la sostituzione per equivalente vero-funzionale come un metodo di ripiego nell'ambito della comunicazione scientifica. Egli anticipa le critiche che si possono fare circa la superficialità delle soluzioni neopositiviste al problema delle lingue e dei linguaggi. Egli  intuisce anche l'importanza delle rappresentazioni secondarie e di quelle che Frege chiama illustrazioni nella questione della comunicazione scientifica. Infine l'esistenza di un linguaggio formale e di un altro linguaggio che si riferisce ad esso fa pensare alla storicamente successiva questione dei rapporti tra linguaggio e metalinguaggio.

 

 

 

La matematica come costruzione fondata sull'intuizione ?

 

Bolzano poi critica la tesi per cui la matematica sarebbe una scienza di costruzione di concetti tramite intuizioni.

Secondo questa teoria (presentata ad es. da Fries), sia in geometria, sia in aritmetica, non bastano espressioni discorsivamente determinate, ma ci vogliono figure dell'immaginazione che ci rendano intuitiva la materia : nella geometria con le figure, nell'aritmetica con cifre e lettere che contengano una rappresentazione intuitiva delle combinazioni numeriche stesse.

Bolzano a tal proposito dice che Fries, per quelle intuizioni che dovrebbero essere un aggiunta del tutto specifica alle spiegazioni dei concetti matematici, non intende altro che un oggetto sottostante il concetto ora spiegato, oggetto che la nostra immaginazione produttiva dovrebbe raffigurare nella spiegazione data per la geometria mentre per l'aritmetica dovrebbe essere nient'altro che un segno scritto qualunque che colleghiamo al concetto spiegato.

Tuttavia, aggiunge Bolzano, quel che si richiede non riguarda tutte le spiegazioni concettuali facenti parte della geometria: così ad es. anche il concetto di linea infinita è un concetto geometrico di cui bisogna fornire una spiegazione geometrica.

Eppure l'immaginazione produttiva non è in grado di costruire un oggetto corrispondente a questo concetto : una linea infinita non possiamo disegnarla con l'immaginazione, ma possiamo e dobbiamo pensarla solo con l'intelletto.

Inoltre la nostra immaginazione non è assolutamente in grado di raffigurarci il primo oggetto geometrico (il punto) : quel che ci raffigura è una macchiolina a cui dobbiamo togliere con l'intelletto le tre dimensioni.

Inoltre Bolzano dice che anche in altre scienze compaiono concetti che una figura rende intuitivi: ad es. in logica Euler, Lambert hanno reso intuitivi mediante figure i concetti di estensione di una rappresentazione e la teoria sillogistica. Per quanto invece riguarda la cosiddetta costruzione simbolica dell'aritmetica è evidente che designare le grandezze con lettere e le diverse operazioni con segni (+, - etc.) non cambia nulla nel modo in cui si devono intendere questi concetti, ma solo facilita il tenerli a mente e richiamarli alla memoria.

Semplificazioni simboliche simili ci sono state in altre scienze senza che nessuno abbia mai detto che ora in queste scienze i concetti si formano in modo diverso da prima.

E le parole stesse non sono pure segni intuitivi dei nostri concetti esattamente come l' (a+b) dell'algebra con la sola differenza che questi ultimi segni sono più facile da riconoscere e rappresentare ?

Per Bolzano inoltre il fatto che per il matematico è facile collegare intuizioni ai concetti non implica che egli non debba intraprendere una analisi dei concetti stessi. Sarebbe più comprensibile se tale facilità faccia derivare l'esigenza ulteriore non solo di chiarezza ma anche di intelligibilità. E' corretta certo l'affermazione che ad es. la spiegazione del cubo deve soltanto collegarsi ad un nesso che permetta al tempo stesso di dimostrare in qual modo si possa delimitare il cubo con 6 quadrati uguali.

Ma questo è il modo in cui si deve procedere in qualsiasi scienza e non è lo specifico delle scienze matematiche. Introducendo un concetto composto cui spetti oggettualità, non si deve darlo per presupposto senza una sua propria dimostrazione. Ma se indaghiamo sul modo in cui bisogna procedere in simili dimostrazioni si vedrà che queste dovranno essere condotte in modo nient'affatto diverso da quello di ogni altra scienza. Ovvero esclusivamente partire da pure verità concettuali, così da evitare ogni relazione a figure ed intuizioni dalle quali si possa dedurre qualcosa che non risulti dai concetti stessi. Ma se il modo in cui il discorso matematico deve organizzare le sue dimostrazioni obbedisce alle stesse leggi di ogni altra scienza puramente concettuale, il matematico certamente non potrà sottrarsi all'obbligo di rendere intellegibili tutti i concetti mediante l'analisi.

Bolzano poi critica chi disprezza le spiegazioni con segni caratteristici negativi (tipo angoli acuti e/o ottusi come angoli non-retti etc.) dicendo che una spiegazione è buona non appena indichi gli elementi di cui è composto il concetto da spiegare. E, come vi sono concetti affermativi, ve ne sono anche di negativi, generati dalla negazione di un segno caratteristico o dove in essi compaia come elemento il concetto di negazione.

Bolzano poi critica alcuni che credono che a partire dai concetti puri non si possa dimostrare alcuna verità sintetica e che vi sono piuttosto certe intuizioni, tramite le quali debba essere mediata ogni conoscenza sintetica. Bolzano si domanda retoricamente a cosa serve non riconoscere diritto ai sensi se se ne concedono invece all'immaginazione. Infatti quando si traggono deduzioni partendo dalla considerazione di una figura, è lo stesso vederla nella natura disegnata o in quella immaginata. Bolzano a tal proposito nota pure che il termine "intuizione" porta all'opposizione tra intuizione e concetto.

Bolzano aggiunge che le intuizioni sono di aiuto perchè possiamo supporre che ci sia una causa che le produce e poichè dall'effetto si possono dedurre le proprietà delle cause, dalle proprietà dell'intuizione possiamo dedurre una proprietà corrispondente dell'oggetto che la produce, e se ci sono più intuizioni analoghe, siamo giustificati con una certa probabilità a concludere che sono prodotte da oggetti simili e così ad es. possiamo convincerci che, invertendo l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia, se tale è il risultato di una molteplicità di casi, in cui abbiamo fatto tale operazione. Ma in tal modo non si può ottenere certezza, ma solo probabilità. Inoltre perchè l'uso delle intuizioni debba convincerci dell'impossibilità del contrario, si deve presupporre che l'intuizione debba comprendere in sè concetti, cosa che estende troppo l'accezione del termine "intuizione".

Bolzano dice che è vero che il geometra nelle sue dimostrazioni non si ferma al mero concetto, ma a questo collega certi disegni grazie ai quali accetta qualche premessa come giusta. Ma è proprio impossibile ricavare tutte le premesse da semplici concetti ? E se tutte le figure servissero solo a designare più rapidamente e a ricordare più facilmente ciò che si è già dimostrato ?

In tal caso, dice Bolzano, non c'è opposizione tra conoscenza tramite intuizione e tramite concetti, in quanto potrebbe accadere che ciò che si colpisce osservando una certa linea retta di cui abbiamo tracciato il prolungamento, veniamo a conoscere la verità che ogni linea retta può essere prolungata, allora si dice che siamo arrivati a tale conoscenza tramite intuizione . Ma è altrettanto certo che si è potuto dedurre una verità così generale, solo perchè si è presupposta un'altra verità non intuitiva per cui tutte le rette sono simili.

Le osservazioni che si possono fare su queste tesi di Bolzano sono le seguenti:

Bolzano dice giustamente che non tutti gli oggetti matematici sono rappresentabili intuitivamente (es. una linea infinita, anche se i punti sospensivi possono essere segni che stanno per la stringa discorsiva "e così via all'infinito", stringa che svolge la sua funzione segnica grazie al fatto che intuiamo già intellettualmente l'Infinito e dunque ne comprendiamo il concetto).

Altro è l'esigenza didattica di rendere esplicitamente comprensibile un concetto, altro è subordinare a tale esplicitazione rappresentativa la valenza conoscitiva di un concetto. I segni infatti possono semplicemente stimolare un insight nel discente e dunque non debbono racchiudere per forza in essi l'intera portata del concetto a cui fanno riferimento (al contrario di quanto potrebbe pensare un Hilbert o più generalmente un finitista). Il problema nasce però se l'insight non si genera : come si deve fare in questo caso ? Bolzano in questo senso non ci aiuta....anche se ha ragione a dire che i segni formali della matematica non sono più rappresentativi di quanto non siano le lettere dell'alfabeto nel svolgere la propria funzione segnica.

Più difficile è dire se il ruolo dell'immaginazione automaticamente valorizzi anche quello dei sensi : è vero che gli oggetti dell'immaginazione sembrano simili a quelli dei sensi, e tuttavia le combinazioni di qualia a cui si possono ridurre gli oggetti immaginati potrebbero avere logiche del tutto indipendenti dalla genesi sensoriale dei qualia.

Bolzano critica profeticamente gli Intuizionisti (che non erano ancora apparsi...) quando dice che un concetto negativo è un concetto come tutti gli altri.

Egli ha ragione nell'ipotizzare che nell'intuizione intellettuale ci sia molto di concettuale. A mio parere l'intuizione intellettuale coglie i concetti base delle scienze ed il loro carattere antinomico soggiacente e non sempre manifesto.

Il concetto nascosto nell'intuizione infine non è l'universalizzazione della proprietà intuita ("tutte le linee sono uguali"), ma la condizione di possibilità che rende possibile l'operazione fatta mediante le rappresentazioni intuitive (l'infinità della linea che rende possibile l'operazione di prolungarla con una matita quanto si vuole...)

 

Verità e dimostrazione

Bolzano argomenta poi che, non importando solo che una teoria sia corretta, ma anche che tale correttezza sia evidente, sono allora necessarie specifiche dimostrazioni.
Per dimostrazione si intende la quintessenza delle proposizioni messe insieme per rendere evidente la verità di una proposizione, e perciò è forse sciocco voler dimostrare proposizioni evidenti o più evidenti di quelle tramite le quali avverrebbe la dimostrazione.

Bolzano aggiunge che nelle discipline matematiche contenenti concetti puri, bisognerà trovare una dimostrazione che deduca una proposizione data da proposizioni concettualmente pure e ciò mediante deduzioni perfette.

Partendo dalla distinzione tra proposizioni in sè e giudizi (o asserzioni) c'è anche una distinzione tra verità in sè e conoscenze (verità conosciute). Al pari di tutte le cose reali, le conoscenze hanno cause ed effetti. Il giudizio che oggi l'aria è meno opprimente di ieri è provocato in me dal fatto che, osservando un barometro, ho notato che la colonnina di mercurio era più bassa di ieri.

Un rapporto analogo tra le nostre conoscenze è un rapporto che vale solo tra verità in sè (con alcune che valgono da fondamenti e altre da conseguenze). Questo rapporto tra verità in sè è il nesso oggettivo. Se affermo che certe conoscenze A, B, C, D producono in noi una nuova conoscenza M, da ciò non si deve immediatamente dedurre che A, B, C, D siano fondamenti ed M la conseguenza.
Chiameremo perciò soggettivi i fondamenti meramente conoscitivi ed invece chiameremo oggettivi i fondamenti autentici.

Ad es. la conoscenza che oggi il barometro è più basso di ieri (provocando in noi la conoscenza che la pressione dell'aria è oggi inferiore a ieri) si può considerare il fondamento soggettivo di questa ulteriore conoscenza, ma non ne è il fondamento oggettivo, ed anzi, al contrario, la pressione differente dell'aria è uno dei fondamenti parziali di cui l'abbassamento della colonnina di mercurio risulta come conseguenza. Altro esempio è che la verità che il furto non è permesso è fondata oggettivamente sulle due verità che non è permesso nulla che turbi il bene comune e che il bene comune è turbato dal furto. Non si tratta qui del solo fondamento conoscitivo, ma l'autentico fondamento effettivo, sulla base del quale il furto non è permesso.

Infine un ultimo esempio dalla matematica se "..dati due punti A e B ne esiste un terzo C che ha dai due la medesima distanza che hanno l'uno dall'altro" altrettanto evidente è che "...due cerchi devono intersecarsi se uno è disegnato a partire da A e l'altro da B ed entrambi hanno raggio AB in uno stesso piano individuato da questi punti ".

In questo caso la prima verità contiene il fondamento della seconda, ma se si guarda il mero processo conoscitivo, si può ripresentare il rapporto inverso per cui dall'osservazione che i cerchi si intersecano, si può essere indotti a pensare che esiste un terzo punto C tale che CA=CB=AB.
Se tra verità in sè esiste effettivamente un nesso oggettivo, è importante imparare a conoscerlo in particolare perchè ci si può aspettare che la conoscenza del fondamento di una verità ci mette in grado di scoprirne altre non ancora note.

Soprattutto nelle scienze di pure verità concettuali (quali la matematica) se si può presumere che A, B, C, D siano il fondamento oggettivo di M, allora partire da A, B, C, D è anche la via più breve per convincerci di M.

Perciò ogni insegnamento rigorosamente scientifico non ci deve dare solo la mera certezza delle verità da esso stabilite, ma ci fa individuare ove possibile il nesso oggettivo tra le verità. Dove una verità ha il suo fondamento, tale fondamento va dimostrato e se si risale ad una verità senza ulteriore fondamento, ma che sia fondamento di altre, si dovrà allora mostrare che e come spetti ad essa tale notevolissima proprietà. Se si riesce con la stessa considerazione che vale a convincerci della verità di una proposizione, ad intravedere anche un fondamento effettivo, evidenziando come tale verità scaturisca da altre verità già esposte, allora converrà unificare il procedimento conoscitivo e quello logico.

Le considerazioni che producono entrambi i procedimenti appartengono alle dimostrazioni (o fondazioni). Le dimostrazioni che non danno certezza (acquisita già prima) sono fondazioni. Le dimostrazioni invece che conferiscono certezza senza indicare un fondamento oggettivo si dicono accertamenti.
Già Aristotele aveva introdotto la distinzione tra dimostrazioni che mostrano che qualcosa è (oti) e dimostrazioni che mostrano perchè qualcosa è (dioti) . Aristotele diceva che autentica episteme è solo quella dove ci fossero dimostrazioni del secondo tipo, giacchè si sa soltanto quando si sia in grado di indicare il perchè (giustificazione)

Proclo poi, dice Bolzano, a tal proposito, giustamente criticava gli Epicurei dicendo che il fatto che due lati di un triangolo presi insieme sono sempre più lunghi del terzo è forse manifesto ai sensi, ma la scienza deve indicare il fondamento del perchè sia così e Leibniz aggiunge che egli cerca le dimostrazioni persino degli assiomi, mentre Ladomus asserisce che fondare ciò che è chiaro non è la geometria, ma un'altra scienza che Bolzano chiama scienza dello spazio ( la topologia ? )
Bolzano però conclude che due testi (di cui uno rende tutto chiaro e certo, l'altro che rende comprensibile ciò che è chiaro e fonda ciò che è certo) non appartengono a due scienze diverse, ma sono esposizioni di un'unica e medesima scienza.

Egli poi dice che nell'insegnamento di una scienza rigorosa, bisogna far capire ad ogni passo come la nostra via conduca ad una certa meta, bisogna che ogni volta che si introduce un nuovo concetto si riesca a far notare come è utile considerarlo, bisogna che ogniqualvolta si stabilisca una proposizione, si mostri in qual modo essa si integri con la nostra disciplina, bisogna che nei casi in cui non si possa prevedere come sarà una proposizione, si conduca il lettore a ricercare una proposizione dello stesso tipo.

Bolzano poi evidenzia i limiti di una concezione per cui, nel discorso di una scienza rigorosa, non si debba mai formulare una proposizione, prima di aver premesso tutti i fondamenti. Egli nota che l'anticipazione a volte rende edotti dello scopo per cui si esegue una certa costruzione, altrimenti tutto sembrerebbe insensato. Bisogna per Bolzano iniziare con un problema, che ci indichi qual è l'obiettivo, lo scopo. La forma del problema si può adattare anche a teorie di altro tipo, dal momento che la verità non sempre è così intuitiva.

Bolzano poi enuncia una regola per cui la verità semplice deve essere premessa della verità più complessa e a parità di complessità, la verità più generale deve essere premessa a quella più particolare. Ad es. la verità per cui aree di figure simili si comportano come i quadrati di lati omologhi, è più generale e più semplice di quella che afferma la stessa cosa solo per i triangoli. Non è lo stesso se la verità più generale e più semplice di quella che afferma la stessa cosa solo per i triangoli. Non è lo stesso se la verità più generale sia più complessa di quella particolare.
Ad es. nella proposizione:

 

(1+n)n =  1+ nx + “n([n-1]/2) • x2”+ “n([n-1]/2) • ([n-2]/3) • x3” + ad infinitum

 

"n" può designare qualsiasi tipo di numero purchè x sia minore di 1.

 

Questa proposizione è più generale di quella che afferma l'uguaglianza solo per un esponente positivo ed intero, e tuttavia è più complessa perchè il concetto di potenza con esponente qualunque è più composto di quello di potenza con esponenti interi. Bolzano dice pure che non è facile determinare l'ordine con cui devono succedersi le diverse verità appartenenti ad un'unica e medesima scienza matematica. Per poterlo decidere, si devo anzitutto possedere perfettamente gli elementi di cui è composto ogni concetto che compare in quelle verità. Nella geometria (aggiunge Bolzano) si ponevano all'inizio del discorso proposizioni ben prima che si potessero fondare oggettivamente e quindi se ne premettevano altre che si stabilivano (ed a volte no) in sezioni successive. Così se si deve dimostrare oggettivamente anche solo la singola verità che la linea retta è la più breve tra due punti, si devono far precedere alcune centinaia di proposizioni per lo più sinora tralasciate.

Bolzano poi parlando dell'insegnamento della matematica, sottolinea l'importanza del titolo che facilita i collegamenti del lettore sia raggruppando diversi temi, sia anticipando e sunteggiando i contenuti al dettaglio.

Last but not the least, Bolzano si occupa delle dimostrazioni apagogiche, solitamente usate in matematica, considerando l'opposto contraddittorio della proposizione da dimostrare. Si cerca di dimostrare che da tale opposto contraddittorio, risulta una conclusione palesemente falsa, se vengono assunte anche certe altre proposizioni già provate come vere. E' evidente che non potrebbe venir fuori questa conclusione falsa se fossero vere tutte le premesse da cui l'abbiamo dedotta. Se dunque tutte le altre premesse sono inconfutabili, dovrà essere falso l'opposto contraddittorio della verità da dimostrare e dunque quest'ultima dovrà essere vera. Tali dimostrazioni raggiungono lo scopo della certezza, ma si è sollevata l'obiezione che non farebbero riconoscere il fondamento oggettivo della verità da dimostrare. Bolzano dice che tale accusa non è sempre giustificata anche se il fondamento oggettivo su cui poggia una verità non può mai saltarci agli occhi con chiarezza. Bolzano aggiunge che si rimprovera non senza ragione a questo tipo di dimostrazioni il fatti che essere partono da una proposizione falsa. Infatti non si deve ammettere che la considerazione del falso sia una necessità inevitabile per ottenere la conoscenza del vero, potendosi piuttosto presumere che si debba riuscire a giungere alla stessa conclusione cui ci conduce la dimopstrazione apagogica considerando verità pure. Bolzano aggiunge che le verità che devono essere scelte al posto delle proposizioni false dell'apagogia, sono in generale proposizioni che risultano da queste ultime mediante una semplificazione, tralasciando le singole parti che le rendono proposizioni false. ma sebbene la dimostrazione che evita le assunzioni false sia più semplice di quella apagogica, quest'ultima però si presenta più facile e spesso si fa formulare più brevemente della prima, visto che non sempre le idee più semplici possono essere espresse più semplicemente.

 

 

Alle tesi di Bolzano possiamo fare le seguenti osservazioni :

Bolzano distingue giustamente tra presupposti genetici e presupposti validativi, tra certezza soggettiva e verità oggettiva, tra verificazioni e fondazioni, tra scienza e filosofia (logica).

Bolzano giustamente sottolinea che alla base delle verità logiche c'è l'evidenza. Ma ciò come si concilia con la separazione della logica dalla psicologia ? Inoltre se è possibile cognitivamente (e dunque psicologicamente) passare dalla consapevolezza della verità dei teoremi a quella della verità degli assiomi (mentre ciò non è logicamente possibile), come si può radicare la logica (dove la sequenza è univoca) con la psicologia (dove la sequenza può ben essere simmetrica e biunivoca) ? Bolzano da un lato dice che, una volta raggiunto il livello fondativo, la procedura fondativa si rivela essere anche quello didatticamente, retoricamente e cognitivamente più semplice e conveniente. D'altro canto ribadisce la preferibilità pragmatica di un procedimento zetetico (basato sul partire da problemi). Le dimostrazioni sono le procedure che al contempo indicano un fondamento oggettivo e danno certezza. Le fondazioni indicano un fondamento oggettivo ma non danno certezza (forse perchè il loro procedimento è un porre formalistico ed assiomatico che non si occupa del valore di verità delle premesse). Le verificazioni (accertamenti) danno certezza, ma non indicano un fondamento oggettivo. Bolzano si dimostra consapevole della rilevanza dialettica e del carattere problematico delle dimostrazioni apagogiche e di quelle per assurdo. Tuttavia non articola un modello che eviti la necessità di partire da proposizioni che si dimostreranno false, per quanto ne dichiari la possibilità e l'opportunità.

Probabilmente infine le potenze con esponente qualunque non sono più complesse delle potenze con esponente intero, dal momento che un numero maggiore di segni (ricompreso dalla variabile) può ben essere inversamente proporzionale alla complessità del concetto. La variabile riferendosi a tutti gli esemplari può denotare le proprietà comuni a tutti gli esemplari, proprietà che non sono sicuramente maggiori a quelle possedute da ciascun esemplare individualmente considerato.

 


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