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30 maggio 2011

Conto e racconto : la numerazione per intaglio

L’intaglio doveva affrontare il problema delle percepibilità diretta dei numeri fino a 4, per cui il 5 abbisognava di un altro simbolo. Il pastore ad es. era in difficoltà percettiva dopo la quarta tacca ed era costretto a ricontare astrattamente.

Modificando l’aspetto della tacca ogni potenza di 5 e di 10 con uno sguardo sulla serie di tacche comunque si tiene la situazione sotto controllo.

IIIIVIIIIXIIIIVIIIIX….

IIIIVIIIIXIIIIXVIIIIXXIIIIXXVIIIIXXXIIIIXXXVIIIIXXXX……

 

All’inizio trattino per essere differenziato viene inclinato IIII\

Oppure si aggiunge un altro trattino a quello già esistente con diversi orientamenti

V Λ <  >  Y ?  etc.

Dopo altri 4 segni, nuovo segno (spesso anche graficamente doppio del 5)

Dopo altri 4 segni altro V differente dal primo perché successivo al X

Al ripetersi 5volte di V e X ci vuole altro segno per 50 (es. L)

In questo modo con uno sguardo il pastore discerne insiemi di 50, 100 segni senza doverli contare ad uno ad uno.

tacche particolari usate come leve

Da ciò sistema decimale con 5 come base ausiliaria (come sistema latino).

Si può pensare anche a basi alternate 2 e 5.

 

 

 

Esempio:

1

5

10        2x5

50     2x5x5          

100   2x5x5x2      

500      2x5x5x2x5

1000      2x5x5x2x5x2

5000      2x5x5x2x5x2x5


27 maggio 2011

Conto e racconto : i limiti della numerazione greca e di quella latina

Così pure con le cifre romane ad es.

  232+                                           M D C C C   L              I I

  413+                                           M        C C      X X X      I

1231+                                                    C C C C          X   I  I  I

1852 =                                                          C C  X X X      I  I

-------                                          ------------------------------------

3728                                      M M M D       C  C     X X  V  III

 

il calcolo in questo contesto non è impossibile, ma molto complicato è il riporto, le sostituzioni e gli spazi vuoti.

 

I numeri romani in realtà (originati dall’intaglio) non erano segni per fare operazioni ma semplici abbreviazioni per esprimere e ricordare numeri, mentre il calcolo vero e proprio è svolto da uno strumento esteriore.

Nelle cifre latine vi è il principio additivo, ma anche il principio sottrattivo, per cui l’operazione è implicita nella cifra stessa (quasi come i numeri negativi).

Per Ifrah invece giustamente il sistema è inutilmente complicato, concettualmente arcaico, inadatto per le operazioni. Egli però sostiene che l’uso contemporaneo di principio additivo e sottrattivo sia contraddittorio, ma tale opinione è ingiustificata.

In realtà il principio sottrattivo è facilitato dalla presenza della base ausiliaria 5 che rende meno distanti tra loro le scansioni della conta e dunque incoraggia sia le notazioni additive (VI; VII) che quelle sottrattive (IV,IX).

 

I     V     X     L     C     D     M

 

 

Prima

 

1= ½

5= V (mano. Albero)

10= X (2mani opposte speculari. Albero rovesciato)

50= W ( V con I al centro. 5x10)

100= ? ( X con I al centro 10x10)

500= ý (arco orientato a sud-est con angolo piatto alla sua base (fase lunisolare)

1000 = U = (cerchio/angolo giro/ città/ sole)

Tutti questi segni con diversi possibili morfismi…

 


26 maggio 2011

Conto e racconto : la numerazione greca

Grecia

Epoca omerica

1= · ( ½ [cerchietto,archetto, trattino]

10= ¾ o (trattino orizzontale, cerchietto più grande)

100= ?

1000= Ψ (albero)

10.000= C (capanna) (dall’Egizio?)

7699= i sistemi additivi sono costretti ad usare 31 simboli

9(1)+9(10)+6(100)+7(1000)

Il problema era la smisurata ripetizione di segni identici.

Nel VI sec. a.C. ci fu una sostanziale semplificazione della notazione europea.

Cifre speciali per 5-50-500-5000    base 5 ausiliaria per supportare la base 10

 

Inoltre fu usato il metodo dell’acrofonia e cioè quello di utilizzare come segno di un numero l’iniziale del nome del numero stesso. In questo modo si andò oltre l’ideogramma.

 

1= ½                                                                                base 10 e multipli

5=  ? = Pi = Pente                                                        base ausiliare 5 e multipli

10=Δ = Deka

50= ( forca con triangolo appeso all’interno) Pentedeka (pente x deka)

100=   Η = Hekaton

500= (forca con h al bordo) = Pentehekaton

1000= Χ = Chilioi

5000= (forca con x all’interno) = Pentechilioi

10.000= M = Murioi

50.000= Pentemurioi

 

Così 7699= 1(5000) 2(1000) 1(500) 1(100) 1(50) 4(10) 1(5) 4(1)

15 segni e non più 31

Tale evoluzione però alleggeriva la notazione, ma era un regresso per quel che riguardava il calcolo:

infatti inserendo cifre speciali supplementari all’unità e ad ogni potenza della sua base, si diminuirono le possibilità operatorie (resti e riporti sottostavano a più regole) e ci si costrinse al ricorso di tavole per contare e abachi (supporto esterno).


25 maggio 2011

Conto e racconto : la numerazione azteca

Aztechi con scrittura figurativa, compromesso stile rebus tra notazione pittografica e notazione fonetica es. città ITZTLAN = ITZTLI (lama, ossidiana) + TLAN (dente)

Numerazione azteca su base 20

1= cerchietto

20= ascia (div. in 2) tw. Twenty. Forse per derivazione da 2.

400= (20x20) / (il simbolo è più precisamente una sorta di freccia con più punte a diverse parti del fusto a rappresentare una pianta con più rami, tipo abete). Tale simbolo forse non a caso rende benissimo l’elevazione a potenza e il principio di autoduplicazione dei frattali.

8000 = (20x20x20)= borsa con granaglie (rende l’idea dell’insieme provvisto di un sacco di elementi. Ricordate la bottiglia piena di fagioli di Raffaella Carrà? Ecco!)

 

http://www.youtube.com/watch?v=BIlz_rwkLTI&feature=related

Tranne per la base vigesimale comunque la numerazione azteca è simile a quella egizia, cretese ed ittita.

Popoli lontani, cronologicamente e geograficamente, grazie ad identiche condizioni materiali di base hanno sviluppato sistemi numerici simili (quasi a suggerire una legge storica che ad identici problemi materiali ed identiche condizioni di base corrispondono identiche risposte culturali), basati su principio additivo

Equivalenza tra valore numerico dei simboli (cifre) utilizzati e valore numerico sottostante.

es. 1464 in Egizio è 1bambù-4spirali-6anse-4trattini.


24 maggio 2011

Conto e racconto : la numerazione cretese

La scrittura cretese fu elaborata da responsabili di amministrazione burocratizzata.

Il sistema di numerazione decimale era come quello egizio.

Sistema geroglifico cretese:

1= piccolo arco di cerchio variamente orientato.

10= circolo tipo numerico-elamita

100= grande tratto obliquo

1000= losanga (rombo)

Sistema lineare cretese:

1= trattino verticale

10= barra orizzontale

100= cerchio

1000= cerchio con 4 trattini secanti la circonferenza

10.000= 1000 con barra interna orizzontale (1000x10)

 

46.568= 4(10.000) 6(1000) 5(100) 6(10) 8(1)

 


23 maggio 2011

Conto e racconto : la divisione egiziana

La divisione pure va per duplicazioni, ma procedendo in senso inverso e si fa senza resto (altrimenti sarebbe tutto molto più complicato)

es. 1476:12

1*        12*                  768+384+192+96+24+12= 1476

2*        24*                  64+32+16+8+2+1= 123

4          48                    Il risultato è 123.

8*        96*

16*      192*

32*      384*

64*      768*

            1536                    

Questo tentativo era empirico, approssimato, per tentativi ed errori, lento.

 

Potrebbe essere considerato un’anticipazione primitiva della tavola pitagorica, ma d’altro canto ne sembra anche un tentativo di estensione empirica

Esso non è riassumibile in un algoritmo e dunque non è universalizzabile.

Il carattere analitico della matematica sembrerebbe il frutto di processi storici, dovuti forse alla sistematizzazione della materia.


16 maggio 2011

Illogica logica : tautologie e connessioni sane

Malatesta dice che quelle che per gli Stoici sono connessioni sane, per la logica moderna sono tautologie.

 

 

 

 

Questa però è una conseguenza della comparsa della verità di ragione di Leibniz, verità che implica l’astrazione (uso delle variabili) e la funzione proposizionale, che vanno intese entrambe come universali (e non come particolare astratto dialetticamente rovesciabile).

In tal caso non essendoci più un livello ulteriore (empirico o trascendentale) di verificazione, la verità dell’enunciato molecolare viene valutata al livello immanente dell’enunciato stesso e dunque ridotta alla connessione, al tipo di connessione evidenziato (verità analitiche). Dunque la verità logica viene ridotta da verità semantica riferita ad una dimensione meta empirica a verità unicamente sintattica.

 

 

 

 

 

 

 

 


16 maggio 2011

Conto e racconto : la moltiplicazione egiziana

La moltiplicazione e la divisione per 10 e multipli di 10 si fa sostituendo ogni simbolo con il decuplo per ciò che riguarda la moltiplicazione, e con il decimo per quel che riguarda la divisione.

 

La moltiplicazione con altri numeri:

Si parte dalla duplicazione (e cioè dalla moltiplicazione x2 ) che forma una serie che consideriamo costante (1-2-4-8-16-32 etc.) e poi si prende una serie che consideriamo variabile e che parte dalla duplicazione del moltiplicatore:

es. 128x12 

1                    12                         In questo primo caso nella duplicazione a partire da 1 si giunge al

2                    24                         moltiplicando e si vede il numero corrispondente dell’altra serie che

4              48                         è esattamente il prodotto cercato (in questo caso 1536).

8          96

16               192

32        384           

64        768

128        1536                                  

 

es. 84x15                                In questo secondo caso non si giunge direttamente al moltiplicando ed

1          15                               allora nella duplicazione della serie costante si giunge al numero ante-

2          30                               cedente quello maggiore del moltiplicando e si estrae quello corris-

4*        60*                              pondente dell’altra serie; poi si tenta di ottenere il moltiplicando addi-

8          120                             zionando al numero raggiunto nella prima colonna alcuni numeri della

16*      240*                           prima colonna stessa e, quando il moltiplicando è stato ottenuto, si est-

32        480                             raggono i numeri corrispondenti dell’altra colonna e si sommano tra

64*      960*                             loro ottenendo così il prodotto desiderato (in questo caso 1260)

 

64+16+4=84

960+240+60= 1260  

 

L’algoritmo per la moltiplicazione implica la regola per cui ogni numero può essere espresso come la somma di potenze intere di due (bella forza! Tra queste ci sono il numero 2 alla zero, cioè 1 e 2 alla prima e cioè 2).

 


11 maggio 2011

Illogica logica : modus ponens ed implicazione

In realtà il modus ponens e il modus tollens esplicitano le regole che definiscono l’implicazione. Essi infatti dicono che nell’implicazione se è vero l’antecedente è vero anche il conseguente e che se è falso il conseguente è falso anche l’antecedente.

 

Il  modus ponens infatti dice “se (p implica q) è vera e se è vero P(l’antecedente), deve essere vero anche Q(il conseguente)

Il modus tollens invece dice “ se (p implica q) è vera e se è falso Q (il conseguente) deve essere falso anche P (l’antecedente)”.

Spesso le regole di deduzione sono le versioni meta-linguistiche delle leggi logiche.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


10 maggio 2011

Conto e racconto : l'addizione egiziana

Gli Egizi facevano anche operazioni aritmetiche.

L’addizione si faceva con la collezione di segni e con la sostituzione di 10 segni di ordine inferiore con un segno di ordine superiore.

 

Es. 1729+ 696= 2425

 

 

 

III ∩∩  ???? ?              

III        ???              

III                               +

 

III ∩∩∩ ???

III ∩∩∩ ???

     ∩∩∩         

-------------------------

III        ∩∩    ???? ??

 II

 


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