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Matematica e realtà in Schlick

Il rapporto della logica con la realtà

 

Schlick poi passa ad esaminare i giudizi che non solo valgono per la realtà, ma enunciano anche una conoscenza di realtà : da cosa sappiamo ad es. che le leggi della meccanica celeste valgono universalmente nello spazio e nel tempo ? Possono esserci giudizi sintetici validi ?

Schlick dice che con Kant si chiamano sintetici quei giudizi che di un oggetto asseriscono qualcosa che non è contenuto nel concetto dell’oggetto. In essi la relazione tra soggetto e predicato non è data da una definizione, ma è istituita da una conoscenza. Se dunque vogliamo decidere la questione circa la validità di tali giudizi, possiamo farlo solo sulla base di ciò che siamo arrivati a comprendere circa l’essenza dell’atto conoscitivo.

Schlick aggiunge che reali sono i  nostri vissuti e ciò che con essi si connette secondo regole determinate. Conoscere la realtà significa ritrovare un oggetto reale in un altro e si riduce ad un ri-conoscere, un identificare contenuti di coscienza intuitivi o non-intuitivi. Questo atto del confrontare, per via della fugacità di tutti i vissuti, è sempre caratterizzato da incertezza. E il solo modo per produrre concetti del tutto esatti consiste nello svincolarli dal mondo reale. Ciò avviene per mezzo della definizione implicita che definisce concetti solo attraverso concetti e non mediante riferimento al reale.

 

 

Kant e la validità della scienza

 

Schlick poi si chiede se ci sia la possibilità di gettare un ponte tra la realtà ed i concetti rigorosi della logica e della matematica, soprattutto tenendo conto che ogni giudizio empirico “A è B” è una proposizione valida solo nel momento dell’osservazione.

In ogni istante della nostra vita si devono presupporre come veri innumerevoli giudizi per poter agire ed esistere. Tali giudizi sono davvero al di sopra di ogni dubbio ? Schlick risponde che no, un giudizio sintetico non può mai essere apoditticamente certo e non si può mai tornare al razionalismo estremo, ma solo a quello di tipo kantiano.

Per Kant, se la conoscenza deve conformarsi alla realtà, è impossibile che sia assolutamente valida. Perciò le mie verità sono universalmente valide solo se è la realtà che si conforma in qualche modo alla mia conoscenza : questa è l’unica via possibile per salvare una conoscenza di realtà che voglia essere universalmente valida. Per Kant essa non è solo una possibilità, ma una via effettivamente esistente per cui le leggi a cui gli oggetti di esperienza obbediscono sono al tempo stesso le leggi secondo cui l’esperienza stessa ha luogo quale processo di conoscenza : poiché  qualcosa mi viene dato nell’esperienza, proprio per questo è sottoposto alle leggi dell’esperienza e l’esperienza non è mera percezione, ma è uso efficace della percezione.

Per Schlick, Kant respinge i tentativi di giustificazione empirica dei massimi principi della scienza, perché altrimenti non si spiegherebbe la validità universale di quei principi. Giustamente, per Schlick, Kant presuppone la scienza e cerca di spiegarla, mentre Hume metteva in dubbio la scienza.

 

 

La geometria scienza dello spazio ?

 

Schlick poi, prima di affrontare l’ipotesi della possibilità di conoscenze sintetiche apriori, riassume la sua idea della matematica, la cui esattezza presuppone che essa sia scienza di meri concetti (e dunque analitica) definendo tali concetti attraverso definizioni implicite, unico metodo per garantire il rigore delle proposizioni.

Schlick si chiede però, se attribuendo ai concetti un contenuto intuitivo, la geometria come scienza dello spazio rimarrebbe una scienza apriori. Infatti in tal caso “retta”, “piano” non sarebbero solo determinate attraverso definizioni implicite, ma si riferirebbero a configurazioni spaziali vere e proprie. In tal modo le configurazioni spaziali sarebbero tra loro in quelle relazioni che, attraverso le definizioni implicite, sono stabilite per i concetti di base geometrici. Quelle definizioni allora non sarebbero più tali, ma sarebbero proposizioni sintetiche e sarebbero assiomi che tratterebbero di grandezze intuitive (e non di concetti). Tuttavia, obietta Schlick, i singoli teoremi della geometria seguirebbero analiticamente dagli assiomi giacché, al contrario di quanto dice Kant, le dimostrazioni non hanno più bisogno dell’intuizione, ma possono essere condotte mediante deduzione puramente logica. E tuttavia anche i teoremi, essendo gli assiomi sintetici apriori, sarebbero (come gli assiomi) conoscenza sintetica apriori.

Schlick dice che per molti secoli si è pensato che la geometria euclidea fosse la geometria dello spazio, ma la geometria non euclidea ha smentito tale tesi, anche se i neokantiani dicono che sono pensabili geometrie altre da quella euclidea, ma solo quest’ultima sarebbe intuitivamente rappresentabile, per cui gli oggetti fisici dovrebbero necessariamente apparirci nello spazio euclideo.

Inoltre i kantiani sembrano aver buon gioco per il fatto che (come dice Poincarè) l’esperienza sensibile non può provare che una determinata geometria è la sola valida nello spazio empirico, in quanto i fatti di esperienza possono essere portati in accordo con qualsiasi geometria si voglia, solo che al tempo stesso si enuncino le leggi di natura in una formulazione appropriata. Schlick aggiunge che una seconda retta parallela alla data, che costituisca con la prima un angolo di un milionesimo di grado, non sarebbe percepibile come falsa parallela e dunque la natura della geometria fisicamente valida non è empiricamente decidibile.

I kantiani però (obietta Schlick) ritengono che, se le intuizioni empiriche sono inesatte, c’è comunque un’intuizione pura molto più sicura. Schlick fa osservare che molte interrelazioni ascrivibili all’intuizione pura si rivelano però false. E questo è fatale per l’intuizione pura, perché una forma necessaria dell’intuire non può essere fallace.

Schlick dice pure che chi fa affidamento sull’intuizione deve sicuramente giudicare che, ad una curva perfettamente continua, si può sempre tracciare una tangente. Ma questo è un errore, perché Weierstrass ha specificato l’equazione di una curva perfettamente continua che in nessun punto possiede una tangente, perché l’equazione non è differenziabile in nessun punto : dunque in questo caso l’intuizione ci pianta in asso.

 

Spazio geometrico e spazi intuitivi

 

Schlick poi dice che la validità delle proposizioni geometriche non può essere fondata su di una intuizione pura semplicemente perché lo spazio della geometria non è affatto intuitivo in quanto non vi è un solo spazio intuitivo ma ve ne sono molti, tanti quanti sono i sensi spaziali posseduti : dunque vi è uno spazio ottico se non due (essendoci due occhi nell’uomo), uno spazio tattile, uno spazio delle sensazioni motorie. Tutti questi spazi sono tra loro radicalmente diversi. Lo spazio del geometra è invece uno solo e non è identico a nessuno degli spazi intuitivi. Esso è una costruzione concettuale che si forma con i dati spaziali dei singoli sensi e con l’ausilio del metodo delle coincidenze che coordina univocamente i singoli elementi degli spazi soggettivi. Questo a sua volta conduce alla formazione del concetti di “punto” nello spazio oggettivo.

Kant, continua Schlick, contrappone allo spazio intuitivo l’ordinamento non noto delle cose in sé. Invece noi abbiamo esperienza di diversi spazi intuitivi e ad essi contrapponiamo l’ordinamento dei corpi fisici che è appunto lo spazio geometrico. Negli spazi intuitivi gli assiomi geometrici non valgono : lo spazio della vista è uno spazio riemanniano, mentre lo spazio delle sensazioni tattili e muscolari forse non è euclideo. Perciò, conclude Schlick, la geometria non mantiene la sua validità quando ai suoi concetti si attribuisce un senso intuitivo. Alla nostra intuizione di spazio non sono peculiari determinati assiomi geometrici. Noi non possediamo alcuna intuizione dello spazio geometrico : questo è una configurazione concettuale che si costruisce così che possiamo, con il suo ausilio, formulare le leggi di natura nella forma più semplice possibile.

Questa costruzione e scelta degli assiomi non è che abbia luogo solo ad un certo stadio di sviluppo della fisica, perché già le esperienze della vita quotidiana sono riccamente permeate di una conoscenza di legalità di natura ed anche il concetto di “corpo” non potrebbe venire in essere senza certi concetti geometrici. Il punto di vista indicato guida l’uomo inconsciamente cosicché c’è bisogno di acute indagini per arrivare a conoscere che siamo guidati da un tale punto di vista.

La geometria euclidea, che era quella della vita quotidiana, sembrava dovesse fare da base per tutti gli scopi della scienza della natura. Ma la relatività einsteiniana pensa che la più esatta descrizione della natura implichi una geometria diversa dipendente dal potenziale di gravitazione del luogo preso in esame.

Schlick ribadisce poi che la descrizione fisicale della natura non è vincolata ad una particolare geometria : la scelta degli assiomi geometrici è a nostra descrizione ed in genere scegliamo gli assiomi che conducono a leggi fisiche di massima semplicità. Gli assiomi insomma sono definizioni e la geometria, sia come scienza di concetti che come scienza dello spazio, non procede da proposizioni sintetiche a priori ma da convenzioni, da definizioni implicite.

All’interno di queste definizioni la geometria ha carattere analitico. Ma le nostre asserzioni sui rapporti spaziali reali non appartengono alle geometria pura, ma alla sua applicazione a materiale empirico. Dunque hanno carattere sintetico a posteriori e solo l’esperienza decide della loro validità. Lo spazio geometrico è un espediente concettuale per designare l’ordinamento del reale : non c’è intuizione pura di tale spazio, né su di esso vi sono proposizioni sintetiche a priori.

 

 

La questione dell’aritmetica

 

Schlick poi sposta la sua attenzione sull’aritmetica : troviamo forse tra le proposizioni dell’aritmetica quei giudizi sintetici a priori che si sono cercati invano nella geometria ?

Kant ha erroneamente pensato che l’intuizione di tempo potesse svolgere per l’aritmetica un ruolo analogo a quello dell’intuizione di spazio per la geometria. Schlick obietta che il tempo è richiesto certo per il contare, ma la relazione è psicologica non epistemologica, poiché tutti gli altri atti psichici si compiono nel tempo. Anche la scrittura dei numeri è psicologicamente ma non epistemologicamente collegata allo spazio.

La dimostrazione del carattere analitico-deduttivo della geometria pura, ossia la dimostrazione della derivabilità di tutte le sue proposizioni da definizioni implicite fu fornita da Hilbert dietro il presupposto che l’aritmetica rappresentasse un insieme di verità esente da contraddizioni e consistente solo di giudizi analitici su concetti definiti implicitamente.

Che tutte le proposizioni aritmetiche si lasciassero derivare da un piccolo numero di assiomi non era da mettere in dubbio. Ma che questi assiomi possano essere concepiti come definizioni implicite dei concetti aritmetici fondamentali (in particolare i numeri) è dimostrato solo una volta che sia  mostrata l’incontraddittorietà di tali assiomi, in quanto giudizi che si contraddicono non definiscono nulla. Hilbert con Bernays è riuscito in geniali lavori a realizzare nell’essenziale questa dimostrazione e con ciò la natura analitica dei giudizi aritmetici è assicurata, giacché la loro validità non si basa sull’intuizione,. Quest’ultima  non è base della validità, ma mezzo per la comprensione dei giudizi aritmetici, per cui essi non hanno una funzione epistemologica, ma solo psicologica.

 

 

 

 

 Kant, la matematica e le scienze 

Schlick dice poi che, parlando di geometria, si deve distinguere tra pura scienza di concetti e scienza dello spazio. Tale duplicità non sembra sussistere nel caso dell’aritmetica, anche se potrebbe sembrare che il concetto hilbertiano (formalistico) di numero, consistente nel soddisfare certi assiomi,  sia analogo alla geometria pura, mentre il concetto russelliano (contenutistico) di numero inteso come classe di classi sarebbe analogo a quello della scienza dello spazio. In realtà obietta Schlick il numero hilbertiano è lo stesso che quello russelliano.

Egli dice poi che non vi sono molti altri giudizi il cui fondamento sarebbe un’intuizione  pura di tempo e quei pochi hanno più un ambito psicologistico che non logico. Il tempo psicologico non è quello matematico e quest’ultimo è una costruzione concettuale che, come lo spazio astratto, permette una formulazione semplificata delle leggi di natura. La Relatività pure ha contribuito a tale versione più astratta del tempo, versione che permette di pensare ad un tempo che non scorre uniforme e a differenti misure di tempo, a secondo dello stato di moto del sistema a cui viene riferita la descrizione dei processi di natura.

Dunque, Schlick conclude che spazio e tempo non sono forme a priori dell’intuizione, nel senso che renderebbero possibili dei giudizi sintetici universalmente validi. I fondamentali giudizi spaziali e temporali delle scienze esatte non hanno carattere sintetico a priori, né c’è la possibilità di una conoscenza di realtà apoditticamente valida.

 

 

 

 

 

Scienze di concetti e sintetico a priori

C’è un’ambiguità in chi sostiene il carattere non sintetico delle conoscenze logico matematiche : c’è chi dice che si tratta di una conoscenza che non riguarda il reale, c’è chi dice invece che non si tratta affatto di un incremento di conoscenze (giocando magari su di una distinzione fasulla tra conoscenza ed incremento di conoscenza)Inoltre la concezione della conoscenza come ri-conoscimento è troppo generica e vaga e si presta a malintesi. In secondo luogo non è che i concetti legati alla realtà siano inesatti : essi in sé sono esatti come i concetti slegati dalla realtà. È il criterio di validità ad essere diverso : per i concetti slegati dalla realtà basta la coerenza sintattica, per i concetti empirici invece è il rapporto problematico con un flusso d’esperienza che va per conto proprio.

Quanto al tentativo di Kant egli ci fornisce una teoria possibile che garantisca una conoscenza universalmente valida, ma non ci garantisce una conoscenza universalmente valida. Essa teoria dunque non si differenzia da una qualsiasi teoria metafisica. Dunque il criticismo kantiano presuppone un’altra forma di dogmatismo. Kant presuppone i principi a priori ma non li dimostra e la sua definizione di esperienza presuppone questi principi cosicché l’esperienza non potrà mai sconfessare i principi stessi.

Infine le leggi degli oggetti d’esperienza non equivalgono alle leggi dell’esperienza stessa : nel naturalismo la fisiologia della conoscenza non ricapitola la cosmologia.

Quanto alla natura di scienza dello spazio della geometria Schlick fa confusione perché pensa che, se gli assiomi sono sintetici ed i teoremi seguano analiticamente dagli assiomi (e siano logicamente equivalenti ad essi), anche i teoremi siano sintetici. Ma i teoremi sono L-equivalenti agli assiomi, ma proprio per questo epistemologicamente differenti da essi (in quanto analitici).

Inoltre non si può ridurre lo spazio geometrico ad ausilio per la fisica e le scienze naturali : la geometria è una disciplina autonoma. Ci si deve domandare anche se la conoscenza inconscia della legalità di natura rimanga sempre una conoscenza e se, essendo inconscia, non sia in un certo senso un apriori per quanto problematico e storicizzato.

Ancora, come l’applicazione della geometria può essere sottoposta a verifica empirica se si può valutare solo la semplicità delle leggi fisiche a cui una scelta di assiomi può condurre ? Schlick qui si contraddice perché da un lato parla di convenzionalismo (non solo della geometria pura, ma anche di quella applicata) e dall’altro di verifica empirica. Infine se esiste una geometria pura, lo spazio geometrico non è solo un espediente concettuale per designare l’ordinamento del reale.

Ci dobbiamo chiedere anche se la non contraddittorietà degli assiomi tra loro non valga anche a prescindere dal fatto se gli assiomi siano concepibili come definizioni implicite.

Inoltre la prova di Godel rimette in corsa la concezione della matematica come sintesi apriori kantiana (come crede Odifreddi) ? E se fosse così come s’introdurrebbe in tale discorso neokantiano una nozione come l’intuizione pura ?

Perché poi un mezzo per la comprensione non è immediatamente una base di validità ? L’apprendimento di una nozione non passa per la rappresentazione di cosa succederebbe se esso fosse, in un qualsiasi senso, vera ?

Ancora, per quanto riguarda il rapporto tra dimensione numerica e dimensione temporale, notiamo che per Bergson la separazione tra tempo soggettivo e tempo oggettivo è una sorta di dramma filosofico. Perché per Schlick no ? A nostro parere il concetto di ordine asimmetrico collega tra di loro i concetti di numero, spazio e tempo : il numero non si riduce a spazio e tempo e tuttavia tra di essi c’è un legame non del tutto contingente.

Da che deduce Schlick infine che il numero secondo Hilbert equivalga al numero secondo Russell ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pubblicato il 12/7/2010 alle 12.30 nella rubrica Epistemologia.

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